Mathématiques en CP, CE1 et CE2 (cycle 2) page 36 - fiches de préparation, séquences

Calcul réfléchi en vue de faciliter l'apprentissage de la multiplication par un nombre à 2 chiffres.

Découvrir les propriétés des carrés, rectangles et triangles rectangles pour pouvoir les identifier et les tracer L'objectif est d'être capable de réaliser et produire des programmes de constructions.

Les enfants acquièrent la suite orale des nombres entre deux et sept ans. Ils utilisent la file numérique pour dire les nombres et se les représenter dans l’ordre mais ils ne font pas d’emblée le lien avec la cardinalité du nombre. Cette unité s’intéresse au lien entre l’aspect cardinal et ordinal d’un nombre et traduit de manière explicite l’apprentissage du nombre ordinal.

Travail sur une pèriode des 3 types de problèmes sous forme d'escape game.

Contexte Dans les unités 4 et 5, les élèves ont appris à appréhen- der l’addition et la soustraction de diverses façons. Ils ont découvert le sens de ces deux opérations, ont ac- quis des stratégies pour additionner et soustraire deux nombres à un chiffre allant jusqu’à 10 et ont commen- cé à mémoriser des faits additifs simples grâce à une utilisation répétée des familles de nombres (unité 2). Ils ont également produit et utilisé de multiples re- présentations des processus additif et soustractif et ont résolu des problèmes inventés ou donnés impli- quant les deux opérations. Dans l’unité 7, les élèves ont ensuite appris que ces mêmes chiffres de 0 à 9 étaient utilisés pour former les nombres supérieurs à 10. Au cours de cette unité, l’accent a été mis sur la décomposition des nombres de 11 à 19 en « 10 + U », où U représente le nombre d’unités. Bien entendu, le nombre 20 peut s’écrire « 10 + 10 ». Objectif Dans cette unité, les élèves vont être amenés à revoir les notions fondamentales de l’addition et de la soustraction qu’ils ont déjà acquises, en les appliquant cette fois-ci aux nombres allant jusqu’à 20. Ce faisant, ils vont approfondir leur compréhension des concepts- clés, améliorer leur façon de procéder et acquérir de nouvelles stratégies de calcul pour additionner de grands nombres. Réviser certaines notions Au début de l’unité 8, les élèves commencent par inventer des histoires d’additions et de soustractions à partir d’une image (séance 60). Aux séances 61 et 64, ils révisent les stratégies consistant à compter à partir d’un nombre et à compter à rebours, appliquées à l’addition et à la soustraction d’un petit nombre à un nombre plus grand. Les séances 68 et 69 offrent aux élèves des occasions variées de s’exercer à la résolution de problèmes. Les familles de nombres sont utilisées tout au long de l’unité 8. Elles présentent l’avantage supplémentaire de créer des égalités entre les deux parties et le tout. Par exemple, la famille de 17, 7 / 10 / 17, permet d’obtenir 4 égalités apparentées : 7 + 10 = 17 17 – 10 = 7 10 + 7 = 17 17 – 7 = 10 Les deux égalités de la colonne de gauche reflètent la propriété commutative de l’addition, tandis que les paires figurant sur chaque ligne illustrent la relation de réciprocité entre l’addition et la soustraction (séance 67).La décomposition : une base pour de nouvelles stratégies Décomposer puis recomposer de façon différente (que ce soit des nombres ou d’autres objets mathématiques) constitue une habitude mentale qu’il faut cultiver dans la pratique des mathématiques. La décomposition associée aux familles de nombres constitue le point de départ de nouvelles stratégies de calcul. Former des groupes de 10 Lorsqu’on additionne deux nombres à un chiffre, on décompose d’abord l’un des deux nombres pour former un groupe de 10 avec l’autre nombre, puis on ajoute les unités restantes (séance 62). 8+5 5=2+3 8+2=10 8+5 8=3+5 5+5=10 Additionner les unités Lorsqu’on additionne un nombre à un chiffre à un nombre à deux chiffres, on additionne d’abord les unités, puis on rajoute le 10 (séance 63). 13+6 ajouter 6 à 3 10 3 Lorsqu’on soustrait un nombre à un chiffre d’un nombre à deux chiffres (où le premier est inférieur au nombre d’unités du second), on le soustrait des unités, puis on rajoute le 10 (séance 65). 17-5 10 7 ôter 5 de 7 Soustraire du 10 Lorsqu’on soustrait un nombre à un chiffre d’un nombre à deux chiffres (où le premier est supérieur au nombre d’unités du second), on le soustrait du 10, puis on rajoute les unités restantes (séance 66). 17-9 ôter 7 de 9 10 7

Classer Le processus de classification est très répandu dans un apprentissage qui fait appel à la compréhension. C’est une composante du processus de développement des concepts mathématiques et un outil puissant dans la manipulation d’idées mathématiques. Par exemple, dans l’unité 1, les élèves ont appris qu’il y avait un concept en commun entre un ensemble de huit pommes et un ensemble de huit hamsters, que l’on peut voir en faisant correspondre une pomme à un hamster. Alors que leurs éléments sont différents, les deux ensembles peuvent être décrits avec le mot « huit » qui indique une propriété commune. C’est ainsi que le concept abstrait de nombre se forme. La géométrie fournit aux élèves des occasions similaires lors du classement des formes en sous-groupes. On regroupe les carrés parce qu’ils ont tous « la même forme ». Ils peuvent avoir des tailles, des couleurs ou des orientations différentes, mais ils sont semblables car ils ont en commun les propriétés qui font d’eux des carrés. Classer demande à un enfant d’avoir à l’esprit le concept de « carré », qui est une abstraction de ses multiples expériences avec des exemples spécifiques de ce concept. Nommer et saisir les propriétés Il est important de connaître le nom exact des objets mathématiques, mais plus encore de percevoir et d’apprendre leurs propriétés. Se rendre compte des raisons qui entraînent un regroupement spécifique, discuter de la similitude des formes et de leurs différences fait émerger leurs caractéristiques et leurs propriétés. Les élèves réfléchissent à des questions telles que « Qu’est- ce qui fait qu’un triangle est un triangle ? » ou « En quoi les triangles sont-ils différents des carrés ? » Décomposer et composer Dans tous les domaines des mathématiques et à tous les niveaux, on décompose et/ou on compose. Dans l’unité 2 par exemple, les élèves décomposent les nombres jusqu’à 10 selon toutes les paires possibles, et dans l’unité 7, ils ont appris que les nombres de 11 à 19 sont composés d’une dizaine et d’unités. En géométrie, on peut considérer les formes comme étant composées d’autres formes (une figure en forme de maison est composée d’un triangle au-dessus d’un carré). Dans cette unité, les enfants décomposent un triangle en deux triangles plus petits pour faire un carré ou assemblent un carré et deux triangles pour composer un rectangle par exemple. Ils peuvent aussi utiliser des cubes multidirectionnels pour construire des formes variées en 3D qu’ils appellent des solides. Comprendre et créer des suites de formes Dès leur plus jeune âge, les enfants sont confrontés à des suites de couleurs, tailles, formes, dessins, mots, nombres, sons, rythmes, mouvements ou objets. Il y a des suites partout ! Les mathématiques elles-mêmes sont la science des suites. Les suites (le fait de reconnaître un motif et de le généraliser) occupent une place centrale dans le raisonnement algébrique. Dans cette unité, les élèves observent, complètent, dessinent et créent des suites répétitives avec des figures ou des solides de la forme AbAb, AbCAbC ou AAbAAb. Le plus important est qu’ils apprennent à repérer le motif qui se répète : c’est le cœur de la structure de la suite.

Les irrégularités de la suite numérique L’apprentissage de notre système de numération décimale s’appuie sur la mémorisation de la comptine numérique, qui correspond à l’ordre des mots-nombres énoncés à l’oral. Or, dans ce système, il n’y a pas de congruence entre les mots-nombres à l’oral et l’écriture chiffrée. Après dix, les nombres onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize sont complètement « opaques », alors que les nombres suivants retrouvent une régularité (dix-sept, dix-huit, dix-neuf). Dans d’autres systèmes, en particulier le système asiatique, les dénominations sont explicites puisqu’on dit « dix-un », « dix-deux », « dix- trois », etc., et « deux-dix » pour vingt, « trois-dix » pour trente, etc. Ce système permet aux élèves asiatiques de visualiser plus naturellement le passage à la dizaine suivante. La numération décimale de position Le système décimal est basé sur dix symboles, les dix chiffres arabes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) et sur la valeur positionnelle de chaque chiffre. La valeur du chiffre augmente dans un nombre de droite à gauche. Pour le nombre 134 par exemple, le 4 de droite vaut 4 unités, il est plus petit que le 3 qui vaut 3 dizaines, et que le 1 qui vaut 1 centaine. Cette compréhension est fondamentale. Elle permet aux élèves d’écrire correctement les nombres, d’accéder aux stratégies du calcul mental (décomposition/recomposition des nombres), de comprendre les sens de la retenue dans les opérations et de faire le lien avec les unités de mesure (exemple : mètre, décamètre, hectomètre...). Groupements Les élèves sont généralement capables de réaliser des groupements de dix (capacité à dénombrer et à regrouper ensemble dix éléments d’une collection). La réelle difficulté réside dans le fait de voir le lien entre les groupements de dix et l’écriture des nombres. En effet, il faut être capable d’adopter un double point de vue sur « dix », le considérer à la fois comme dix petites unités (dix cubes de un) et une unité d’ordre supérieur (la dizaine), et réaliser que vingt, c’est deux dizaines, soit deux dix. Cette compétence est cruciale pour comprendre la numération décimale. Les multiples représentations du nombre Dans cette unité, il est nécessaire que les élèves voient les nombreuses représentations de chaque nombre. Exemple : désignation orale et écrite du mot-nombre « onze », écriture symbolique en chiffres arabes « 11», représentation en barres avec des cubes multidirectionnels (une barre de 10 et un cube en plus), décomposition 10 + 1, bande numérique, etc. Cela leur permettra d’avoir une vision complète de la notion de dizaine, car toujours rattachée à des repré- sentations concrètes, semi-concrètes puis abstraites.

Nombre ordinal Le nombre ordinal exprime un ordre, un rang, un classement. Dans un classement, la position d’un nombre par rapport à un autre s’exprime à l’oral et à l’écrit. Les deux premiers nombres ordinaux sont irréguliers car « un » se dit le « premier » et s’écrit « 1er » en chiffres. « Deux » se dit le « deuxième » ou le « second » et s’écrit « 2e » ou « 2d ». Pour les autres nombres ordinaux, à l’oral et à l’écrit en lettres, on ajoute le suffixe « ième » au mot-nombre. Pour écrire un nombre ordinal en chiffres, on ajoute un « e » à droite du nombre. Exemples : « trente » s’écrit « trentième » en lettres et s’écrit 30e en chiffres : « mille » s’écrit « millième » en lettres et s’écrit 1000e en chiffres. On peut également exprimer le « n-ième » comme le dernier d’un ordre ou d’un classement. Ordonner Ordonner, c’est mettre en ordre, classer, ranger des choses, des idées. En mathématiques, on parle d’une suite ordonnée de nombres, c’est-à-dire de nombres rangés dans un ordre croissant, du plus petit au plus grand, ou dans un ordre décroissant, du plus grand au plus petit. La position Pour définir la position d’un objet, il est nécessaire de donner un repère dans l’espace ou dans le temps. Le repérage et l’acquisition des notions de position (devant - derrière - dessous - dessus - entre - avant - après - gauche - droite) passent par des situations concrètes à faire vivre avec le corps en motricité, à partir de mimes (avec du matériel) et de schémas. Le repérage dans le temps d’une position nécessite de décrire la position à un instant t et de comprendre que, la situation étant dynamique, la position peut changer. Numéro On distingue le numéro qui s’écrit également avec les dix chiffres entre 0 et 9. Pour autant, il ne désigne pas une quantité. Il peut parfois désigner un ordre lorsqu’on l’utilise pour donner un repère. Exemple : J’habite au numéro 63 de la rue Lamartine. Mon voisin habite au numéro 68 de la rue Lamartine. Ma maison est avant la sienne. Un numéro de téléphone est composé de chiffres, il ne désigne ni une quantité (nombre cardinal), ni un ordre (numéro d’ordre). Un numéro permet alors de distinguer des objets, des personnes... par un nom distinct. On peut lire et écrire ces numéros en isolant ou en groupant les chiffres de différentes manières. Exemple : 07 15 66 49 50 ou 0 715 664 950 ou 0715 6649 50...

Position du corps et univers familier Le vocabulaire spatial est le plus souvent connu des élèves, mais ces derniers ne réalisent pas forcément que le vocabulaire évolue en fonction des positions, des déplacements et des points de vue. Ainsi, la gauche et la droite, le haut et le bas, sont des notions relatives et évolutives. L’utilisation du vocabulaire pose donc un problème de précision dont les élèves vont prendre conscience au fur et à mesure. Le premier obstacle chez certains enfants peut concerner la proprioception (la sensibilité aux différentes parties de son corps), qui est encore très liée chez les élèves de CP à leur faculté de compréhension et de mémorisation à long terme. C’est la raison pour laquelle, dans cette unité, un grand nombre d’activités impliquant le corps, en lien avec le cours d’EPS, sont proposées. La seconde difficulté vient de la définition de l’univers que l’enfant peut appréhender. Afin de bien poser les bases, les exercices de cette unité se situent dans la classe ou dans la cour, qui sont des espaces clos dont toutes les parties sont visibles. Cette première étape est nécessaire avant de passer à l’abstraction. De la classe au plan Au cours de la séance 16, les élèves sont amenés à décrire le dessin d’une classe. Lors de la séance 17, ils décrivent sa représentation sous la forme d’un plan, c’est-à-dire en adoptant un point de vue spécifique. Entre ces deux étapes, la confection d’une maquette leur est proposée. Une fois passée la première difficulté consistant à se repérer sur le plan, les élèves découvrent les deux qualités d’un plan : sa taille réduite et sa simplicité. En effet, dans un plan, les détails qui perturbent la perception d’ensemble sont supprimés et l’on passe de trois à deux dimensions, ce qui diminue les ambiguïtés qui peuvent subsister lorsque les élèves tentent de décrire l’espace. Le vocabulaire utilisé pour décrire la position ou le déplacement devient donc plus efficace. Du plan au quadrillage Cette vue de haut que propose le plan permet ensuite aux élèves d’appréhender les quadrillages (séances 18 et 19), non pas seulement comme des tableaux de données – auxquels ils ressemblent – mais comme des représentations de l’espace. Ainsi, le jeu de la bataille navale est une vision « vue d’en haut » d’un océan, dans lequel les lignes et les colonnes deviendront les futures latitudes et longitudes. Cette représentation quadrillée de l’espace permettra, dès le CE1, d’appréhender les notions d’aires et de surfaces. En effet, calculer l’aire d’une figure consistera naturellement à compter les cases qu’elle occupe sur un plan quadrillé. La distinction entre les cases (séance 18) et les nœuds (séance 19) permet d’approcher la notion de points sur les futures représentations que seront les axes des abscisses et des ordonnées. Enfin, en codant les déplacements sur les quadrillages, les élèves approfondissent leur faculté de projeter l’espace réel sur une représentation abstraite. Le point de vue Quittant le point de vue spécifique (vertical) du plan, les élèves doivent maintenant s’habituer à adopter n’importe quel point de vue pour décrire une situation spatiale (séance 20). Cette gymnastique mentale leur permet non seulement d’approfondir leur compréhension du vocabulaire spatial, mais également le caractère relatif des positions. En se plaçant à droite, à gauche, au-dessus ou en dessous d’un objet ou d’une personne, on n’en voit pas les mêmes aspects. Les élèves, après avoir appris à décrire la position des objets les uns par rapport aux autres, apprennent donc à les décrire par rapport au spectateur. En lien avec les séances de l’unité 9 sur les solides, cette étape permet de préparer les notions futures de géométrie dans l’espace, mais aussi d’aborder sous un angle nouveau et riche les arts plastiques dans le cadre de l’enseignement artistique.