La division : Partages et regroupements

Discipline
Nombres et calculs
Niveaux
CM2.
Auteur
S. ENSMINGER
Objectif
Il s'agit de reprendre l'étude de la division du point de vue du sens en utilisant plusieurs procédures pouvant être mobilisées.
-Recherche de la valeur de chaque part dans un partage équitable;
-Recherche du nombre de parts dans une situation de groupements réguliers.
Relation avec les programmes

Cycle 3 - Programme 2020-2024

  • Apprendre les algorithmes : - de l'addition et de la soustraction de deux nombres décimaux - de la multiplication d'un nombre décimal par un nombre entier - de la division euclidienne de deux nombres entiers (quotient décimal ou non. Par exemple, 10 : 4 ou 10 : 3) - de la division d'un nombre décimal par un nombre entier.
Dates
Créée le 12 mars 2022
Modifiée le 15 avril 2022
Statistiques
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Licence
CC-BY-NC-SALicence Creative Commons : Paternité - Pas d'utilisation commerciale - Partage des conditions initiales à l'identique ?.

Les compétences travaillées portent sur la division.
-Division : valeur de chaque part, nombres de parts
Calcul réfléchi
-Lien avec les autres opérations notamment la multiplication.

Déroulement des séances

1

Division : le partage

Dernière mise à jour le 15 avril 2022
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
- Connaître et mettre en œuvre un algorithme de calcul réfléchi pour résoudre un problème :
-Comprendre que la division est un partage de parts équitablement distribuées
Durée
45 minutes (4 phases)
Matériel
-Manuel Cap Maths p.44
-Cahier de brouillon
-La calculatrice n'est pas autorisée (faire appel à leur tables de multiplications)
Informations théoriques
Pré-requis:
l'addition itérée
la soustraction itérée
la multiplication
Remarques
Pour aborder la notion de division, les élèves devront résoudre l'exercice suivant:
Une course cycliste se déroule sur une piste circulaire.
-Alice a déjà fait 5 tours de piste complets et elle a parcouru 1 400 m
-Ulysse a parcouru 900 m
-Idriss a parcouru 1 700 m
Kriss a calculé qu'à la fin de la courses chaque coureur aura parcouru 7 280 m

A : Quelle est la longueur d'un tour de piste?
B : Combien de tours de pistes complets Ulysse et Idriss ont-ils effectués?
C : Combien de tours de piste complets aura parcouru chaque coureur à la fin de la course?

1. Je cherche le nombre de tours de piste

collectif | 10 min. | découverte

  1. Dans un premier temps : demander à un élève de lire l'énoncé à la page 44.

  2. Puis demander aux élèves comment ils vont procéder, quelles stratégies ils vont mettre en place pour résoudre le problème posé?

  3. Quelle démarche et quels outils connus ils vont utiliser pour résoudre ce problème?

Les élèves doivent tout D'ABORD déterminer la longueur d'un tour de piste connaissant la distance parcourue en 5 tours 

= situation de "type partage" d'une longueur en 5 parts égales

2. Je m'entraine à résoudre un problème rapidement

individuel | 10 min. | recherche

Certains d'entre vous savent peut être déjà comment procéder mais nous allons nous exercer à résoudre rapidement un problème. Prenez l'exercice 1 de la page 44.

 

 

Un élève lit l'énoncé.

Kriss, Ulysse et Idriss achètent des boîtes de fromage qui contiennent x portions.

a. Kriss a acheté 5 boîtes de fromage. Combien de parts de fromage a-t-elle?

b. Ulysse a besoin de 56 parts de fromage. Combien de boîtes doit-il acheter?

c. Alice a besoin de 87 parts de fromage. Combien de boîtes doit-elle acheter?

d. Idriss a acheté 8 boîtes d'un autre fromage. Elles contiennent au TOTAL 72 parts. Combien de parts contient chaque boîte?

 

a. 5x8=40

b. Combien de fois j'ai 56 dans 8? 7 Kriss doit acheter 7 boîtes

c. Combien de fois j'ai 87 dans 8? 10 fois, et j'ai besoin d'encore 7 parts donc Alice doit acheter 11 boîtes

Attention à la question d. Les élèves peuvent se tromper en faisant une erreur sur la quantité. En effet certains élèves pourraient partir du même nombre de parts que dans la première boîte, or, l'énoncé dit que c'est une boîte d'un autre fromage et que le nombre total de parts pour les 8 boîtes = 72.

Ils doivent faire référence à la table de 9 car 9x8 =72. Donc Idriss doit acheter 9 boîtes de fromage.

 

3. Longueur d'un tour de piste.

collectif | 15 min. | mise en commun / institutionnalisation

Maintenant vous pouvez répondre à la première question A du "je cherche". 

Penser à faire participer Vianney à l'oral, Corentin sur son ordinateur et Vérifier auprès de Lola (dyslexie) quelle procédure, méthode elle utiliserait.

Laisser 5' pour chercher les solutions aux problème posé à la 1ère question.

Pour 5' de plus laisser les élèves (en binômes) confronter leurs réponses et modifier éventuellement leurs résultats

Recenser les réponses et faire expliciter les procédures utilisées (on veut les amener à expliquer leur démarche, à quelles connaissances ils ont du faire appel).

Différentes façon d'y arriver (par essais/erreurs) :

-Essais de plusieurs nb ajoutés 5 X à eux-mêmes (en ajustant les essais) 

-Essais de ++ nb multipliées chacun par 5 (en ajustant les essais) 

-Division de 1 400 par 5 (observer la méthode de calcul) utilisée. 

280+280+280+280+280=1 400 (pour en arriver à ce résultat, les élèves savent que 1400 = 1000+400 soit qu'en 1000 il existe 200x5 = 1000 et que 400 =80x5 (les tables de multipications les aident à décomposer ainsi) soit un résultat de 200+80 = 280 donc 5x280 =1400

1400:5 =280

 

Faire repérer les erreurs et distinguer celles dues au choix d'une procédure inadaptée de celles qui sont dues à des erreurs dans l'exécution de la procédure (calcul, oubli...)

Maintenant demander de vérifier le résultat trouvé pour 1 tour avec la calculatrice, soit en faisant 1400:5 soit en multipliant 280x5

Aide : si certains élèves ont des difficultés à commencer la résolution du pb, on peut les inciter à procéder par essais en posant des Q? du type :"est-ce que la longueur du tour peut être 100m? 1000m?

A: 280

 

4. La division c'est quoi?

collectif | 10 min. | mise en commun / institutionnalisation

Demander, si c'était aux élèves de donner la définition de "division", ce qu'ils diraient?

Division = partage en part égales

Vous avez donc utilisés des façons différentes pour trouver quelle était la longueur d'un tour de piste en faisant un partage

Qu'est-ce que nous avons donc appris?

1) Reformuler les différentes procédures utilisées en INSISTANT, dans chaque cas, sur l'interprétation des calculs pour trouver la réponse.

2) Rappeler ;

-les termes de "division"  = partage en part égales et "quotient"  = résultat de ce partage

3) Souligner

La résolution du problème revient à "partager 1 400 en 5 parts égales"

Si le reste = 0 alors on peut écrire : 1 400:5 = 280 

Seulement si le reste est = 0

On peut utiliser la multiplication pour vérifier si le résultat trouvé est correct.

280x5=1 400

TRACE ECRITE : Notez la trace de ce que nous venons de faire. Vous pouvez noter dans votre cahier parmi les solutions retenues, celle que vous comprennez le mieux

2

Division : le groupement

Dernière mise à jour le 15 avril 2022
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
- Utiliser des propriétés et procédures pour élaborer et mettre en œuvre des stratégies de calcul.
- Résoudre des problèmes faisant intervenir la multiplication ou la division.
Durée
46 minutes (3 phases)
Matériel
Manuel Cap Maths p.44
Cahier de brouillon
Informations théoriques
Pré-requis : appliquer des stratégies de calcul
-addition itérée
-soustraction itérée
-multiplication
-division dans le sens de partage
Remarques
Pour aborder la notion de division, les élèves devront résoudre l'exercice suivant:
Une course cycliste se déroule sur une piste circulaire.
-Alice a déjà fait 5 tours de piste complets et elle a parcouru 1 400 m
-Ulysse a parcouru 900 m
-Idriss a parcouru 1 700 m
Kriss a calculé qu'à la fin de la courses chaque coureur aura parcouru 7 280 m

A : Quelle est la longueur d'un tour de piste?
B : Combien de tours de pistes complets Ulysse et Idriss ont-ils effectués?
C : Combien de tours de piste complets aura parcouru chaque coureur à la fin de la course?

1. Qu'est-ce que j'ai appris hier?

collectif | 16 min. | réinvestissement

Demander aux élèves de vous dire ce qu'ils ont retenu de ce qu'ils ont fait hier?

Que la division c'était un partage en nombre de parts égales.  Le reste est égal à 0

Que la division c'était un partage en nombre de parts, avec un reste. 

Pour trouver des résultats, vous avez fait appel à différentes stratégies pour y arriver. Lesquelles avez-vous utilisées?LES ECRIRE DANS UN COIN DU TABLEAU POUR RAPPEL

- L'addition itérée. 

- La soustraction itérée.

- La multiplication

- La division

Prenons l'exercice 2 p.44. Nous sommes toujours dans la résolution d'un problème où l'on cherche un nombre qui soit partagé. Attention!

- Vous ne pouvez pas utiliser votre calculatrice parce que vous devrez expliquer quelles procédure vous avez utilisée.

- Vous ne pouvez pas poser d'addition ou autre calcul, vous devez faire du calcul réfléchi, donc démontrer par quel chemin vous êtes passés.

Les élèves cherchent par du calcul réfléchi les méthodes, peuvent en binômes confronter leurs procédures et résultats.

 

 

2. Phase 2

binômes | 15 min. | entraînement

EX 2 p.44

Je sais qu'il y a 90 élèves dans une école.

Que chaque équipe à constituer doit contenir 12 élèves. Combien d'équipes de 12 élèves je peux faire en ayant 90 élèves au départ?

Soit j'applique l'addition itérée : 12+12+12.....etc (x7) et il reste 6 élèves

Soit Je fais une multiplication de 12 x7 et il reste 6 pour atteindre 90

Soit je divise 90 par 12 et il reste 6

Je peux faire 7 équipes et il reste 6 élèves

90 c'est le dividende (c'est le nombre qui est divisé); 12 c'est le diviseur (celui qui sert à diviser), 7 c'est le quotient (le résultat du partage de 90) et 6 c'est le reste 

 

Vous aller demander maintenant de procéder à la même démarche pour répondre aux questions du point B. de notre "je cherche". 

Combien de tours a effectué Ulysse en faisant 900 m? 

Combien de tours a effectué Idriss en faisant 1 700 m?

 

Permettre à ceux qui connaissent déjà la procédure de la division, d'expliquer grâce au calcul réfléchi comment on l'utilise pour atteindre le résultat attendu sans donner le résultat.

Vianney à l'oral, Corentin à l'ordinateur, Lola aller auprès d'elle pour vérifier sa démarche et l'aider à trouver le sens des calculs à effectuer (mais ne pas oublier les autres élèves qui rencontreraient des difficultés).

Essayer de trouver la procédure à appliquer.

 

3. Ce que j'apprends : La division c'est aussi des groupements

collectif | 15 min. | mise en commun / institutionnalisation

Pour les résultats les procédures possibles : addition itérée, soustraction itérée, multiplication, division.

Le problème posé revient à chercher "combien de fois 280 est contenu dans 900 ou 1 700?"

Ce qui revient à chercher : ?x280 =900 et ?x280 = 1 700? 

Calcul réfléchi : (280x3) + 60=900 (c'est un groupement) et (280x6) + 20 = 1 700 (c'est aussi un groupement)

Ulysse a effectué 3 tours complets plus 60 m, puisqu'un tour est égal à 280 que je multiplie par 3 et auquel j'ajoute 60 pour atteindre 900

Idriss a effectué 6 tours complets plus 20 m, puisqu'un tour est égal à 280 que je multiplie par 6 et auquel j'ajoute 20 pour atteindre 1 700

Dans le cas où le reste n'est pas égale à 0, on ne peut pas utiliser le signe " : "

ATT! à l'écrit, on ne peut pas écrire 1 700 : 280 = 6 parce qu'il y a un reste (20).

chaque élève reportera dans son cahier, parmi les solutions retenues celle qu'il comprend le mieux.

 

3

La division Partage et groupements

Dernière mise à jour le 15 avril 2022
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
- Résoudre des problèmes faisant intervenir la multiplication ou la division.
- Résoudre des problèmes nécessitant une ou plusieurs étapes.
Durée
45 minutes (4 phases)
Matériel
Cap Math
Cahier du jour

1. Applications pour trouver le quotient et le reste

individuel | 15 min. | entraînement

Posture d'étayage :  pour l'exercice 4 nous recherchons quel est le quotient et quel est le reste dans les divisions (faire les remarques suivantes : Le reste est parfois égal à 0 et on peut écrire 75:25=3)

Pour l'exercice 5 : Faites la remarque que selon la taille des nombres, il est parfois plus facile de penser "PARTAGE" (par ex: pour 60:2 c'est partager équitablement 60 en 2 parts) et parfois il est plus facile de penser "GROUPEMENTou combien de fois. 2 dans 60?".

Pour Lola, Corentin et Vianney, ils ferons moins d'exercice, je les interrogerai à l'oral pour vérifier si la procédure est acquise et s'ils arrivent à reformuler et expliciter leur procédure. 

Pour les élèves qui maîtrisent déjà la division ils pourront apporter leur aide à ceux qui en auraient besoin, s'ils le souhaitent. Cela leur permettra de collaborer et partager leurs connaissances et compétences.

Petit rappel : attention je ne peux écrire le signe ":" que si.....?

Le reste est égal à 0

les élèves procèdent à la recherche du nombre de part en se posant la question "combien de fois est contenu 4 dans 75?"

 Ex: 4  : a. 75 divisé par 4; b. 75 divisé par 5; c. 75 divisé par 2; d. 75 divisé par 7; e. 75 divisé par 25; f. 75 divisé par 80

à ce moment on donne la formule D = (dxq)+r soit D (dividende = nb divisé < à d) = d (diviseur) x q (quotient = résultat) + r (reste)  qui peut être ≤ à O et < à d. Cette formule doit pouvoir déclencher chez les élèves un "Mais bien sûr!" du fait qu'ils voient apparaître : 75 (Dividende) = 4(diviseur) x (? le quotient que l'on cherche) et r (que l'on cherche aussi).

 

Ex 4 : Les élèves doivent expliquer comment ils en arrivent au résultat comme en trouvant le quotient qui est le résultat d'une division donc d'un partage plus le reste soit quand il y en a :

75 divisé par 4 est égal à 4 fois 18 plus 3 (ils peuvent l'écrire  (4x18)+3 = 75 

75 divisé par 5 est égal à 5 fois15 ou  5x15 = 75

75 divisé par 2 est égal à 2 fois 37 plus 1 ou  (2x37)+1 = 75

75 divisé par 7 est égal à 7 fois 10 plus 5 ou  (7x10)+5 = 75

75 divisé par 25 est  égal à 25 fois 2 ou 25x3 = 75

75 divisé par 80 Att! ici 75 est plus petit que 80, ils doivent (et réveiller les automatismes en plaçant le nb + grand devant le + petit) se poser la question : Combien de fois 80 dans 75? Donc O +75 =75

 

Exercice 5 :       

Ici on recherche combien de fois le quotient est contenu dans 60? si on garde en tête la formule D = (dxq) + r on constate que le diviseur et le quotient sont multiples donc :

60 : 6 = 6 x 10

60 : 2 = 2 x 30 

60 : 20  = 20 x 3 

 

60 : 60 = 1 ATT! expliquer que dans ce cas-là on trouvera toujours 1 car 1 nb divisé par lui-même ne donnera toujours qu'une part de lui-même.

 

60 : 12 = 12 x 5

60 : 4 = 4 x 15

60 : 5 = 5 x 12

60 : 1 = 60

 

2. Je m'entraine

individuel | 10 min. | entraînement

Exercice 6 :

Division A. 76 = (7x10)+6

Division B. 63 =7x9

Division C. Att! ici cela revient à chercher : ? = (7 X 4) + ?  soit  : 28 ou 29 ou 30 ou 31 ou 32 ou 33 ou 34 obtenus par l'égalité (7x4) + ?, avec ? <7

Division D. 0 ou 7 ou 14 ou 21

3. Le résultat

collectif | 10 min. | mise en commun / institutionnalisation

Revenons à la dernière étape de notre "Je recherche"

Combien de tours de piste complets aura parcouru chaque coureur à la fin de la course?

Je vous laisse 5'.

Passer en revue les PROCEDURES qui sont du même type que celles  de la mise en commun.

Les élèves confrontent les procédures et le résultat trouvé.

Je sais qu'un tour complet fait 280 m, que chacun des coureurs aura effectué 7 280 m.

Je vais donc chercher combien de fois 280 est contenu dans 7 280?  Donc 7 280 : 280 = 26 (je me souviens que je peux l'écrire ainsi car mon reste est égal à 0

4. Qu'est-ce que j'ai retenu de la Division? Trace écrite

collectif | 10 min. | mise en commun / institutionnalisation

TRACE ECRITE :

La division est utilisable dans deux cas:

- Lorsqu'on partage 1 nombre en 1 nombre de parts égales et qu'on cherche la valeur d'une part. C'est une situation de partage. (schématiser au tableau 4 paquets de 4 parts, je cherche quelle est la valeur d'1 part)

- Lorsqu'on cherche combien de fois 1 nombre est contenu dans 1 autre nombre (le nombre de parts). C'est une situation de regroupements (schématiser au tableau 1 paquet qui contient 4 paquets de 4 parts)

 

  • La division est une procédure équivalente aux autres procédures (additive/multiplicative) déjà utilisées, notamment celle qui consiste à approcher le nombre à atteindre par multiplication.
  • Pour la division, il faut savoir et retenir ce que veut dire
  • DIVIDENDE c'est le nombre divisé. 
  • DIVISEUR : c'est le nombre qui divise.
  • QUOTIENT : c'est le résultat.
  • LE RESTE : c'est le nombre de part qu'il reste, que je ne peux pas répartir pour faire une part entière.
  • -Il doit toujours être INFERIEUR au diviseur.

Dans notre dernier exercice du "Je recherche"  voici ce que chaque nombre représente dans une division euclidienne :

7280 (Dividende) : 280 (Diviseur) = 26 (Quotient) Reste = 0 (je me souviens que je peux l'écrire ainsi parce que les reste =O)

SINON  j'écris, D (Dividende) = d (diviseur) x q (quotient) + r (reste)