Calcul réfléchi de produits : Combien de carreaux ?

Discipline
Nombres et calculs
Niveaux
CM2.
Auteur
N. MARCELLIN
Objectif
Calculer un produit en décomposant un des facteurs (ou les deux facteurs), en appui sur une « représentation rectangulaire » du produit.
Relation avec les programmes

Cycle 3 - Programme 2020-2024

  • Résoudre des problèmes faisant intervenir la multiplication ou la division.
  • Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations : - sens des opérations ; - problèmes à une ou plusieurs étapes relevant des structures additive et/ou multiplicative.
  • Résoudre des problèmes nécessitant une ou plusieurs étapes.
Dates
Créée le 06 octobre 2019
Modifiée le 06 octobre 2019
Statistiques
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Licence
CC-BY-NC-SALicence Creative Commons : Paternité - Pas d'utilisation commerciale - Partage des conditions initiales à l'identique ?.

Déroulement des séances

1

Calcul réfléchi de produits : Combien de carreaux ?

Dernière mise à jour le 06 octobre 2019
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Calculer un produit en décomposant un des facteurs (ou les deux facteurs), en appui sur une « représentation rectangulaire » du produit.
Durée
35 minutes (5 phases)
Matériel
Power-point combien de carreaux ?
Informations théoriques
La taille plus importante du nombre d’objets doit inciter les élèves à recourir à une décomposition d’au moins l’un des deux nombres. Il est possible que certains élèves utilisent leur connaissance sur la numération pour répondre, en faisant des paquets de dix carreaux. Le recours au mot « fois » pour expliciter les raisonnements, illustrés par les découpages correspondants, permet de renforcer le sens des écritures avec parenthèses qui les décrivent.

1. Combien de carreaux dans un rectangle de 15 sur 4 ?

individuel | 5 min. | recherche

Afficher quadrillage 15X4

Vous devez trouver combien il y a de carreaux sur ce quadrillage. Vous pouvez utiliser la méthode qui vous paraît la plus intéressante. Mais attention, il faut utiliser le calcul mental.

Pas de calculatrice, ni d’opération posée. Vous pouvez cependant garder une trace écrite de certains calculs.

2. mise en commun

collectif | 10 min. | découverte

-Recenser les réponses ;

–  faire expliciter les méthodes de résolution ;

 tentatives de comptage des points un par un ;

 dénombrements « 4 par 4 » ou 4 additionné 15 fois ;

 additions de 15 (4 fois) ;

 écritures multiplicatives : 15 × 4 ou 4 × 15 (à mettre en relation avec les additions itérées précédentes) ;

 calculs correspondant à des décompositions de 15, par exemple : (10 × 4) + (5 × 4)...

–  engager un débat sur leur validité.

 60 carreaux.

3. Combien de carreaux dans un rectangle de 23 sur 17 ?

binômes | 5 min. | recherche

Pour cette question, vous cherchez par équipe de deux. Il faut trouver combien il y a de carreaux, sans calculatrice et sans poser de multiplication en colonnes. Écrivez sur votre feuille de recherche les calculs que vous avez faits mentalement.

4. mise en commun

collectif | 10 min. | découverte

mettre en évidence les procédures utilisées :
– ceux qui ont utilisé seulement l’addition itérée de 23 ou de 17, ont dû contrôler le nombre d’itérations (source d’erreurs) ; 

– d’autres ont pu regrouper des termes pour réduire le nombre d’itérations : par 46 + 46 + ... + 46 + 23, avec 8 termes égaux à 46, ce qui équivaut à 23 ajouté 16 fois ;

– d’autres encore ont pu s’appuyer sur des produits faciles à calculer mentalement, par exemple : 23 × 10 = 230, puis 230+23+...+23(7termeségauxà23),ou17×20=340 et 340 + 17 + 17 + 17 (3 termes égaux à 17)...

5. synthèse

collectif | 5 min. | découverte

➡ Insister sur l’intérêt qu’il y a à décomposer l’un des nombres, ce qui peut être trouvé ou illustré en découpant le quadrillage par exemple en 2 rectangles. Illustrer le propos avec la diapo 4

➡ Insister sur les formulations orales du type : 23 × 17, c’est 23 fois 17, donc 20 fois 17 et encore 3 fois 17 ; c’est aussi 17 fois 23, donc 10 fois 23 et encore 7 fois 23.

➡ Faire produire par les élèves les écritures à l’aide de parenthèses, par exemple : 23 × 17 = (20 × 17) + (3 × 17) 23×17=(10×17)+(10×17)+(3×17) 23×17=(23×10)+(23×7)

 

Réponses : 391 carreaux

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Exercices d'application

Dernière mise à jour le 06 octobre 2019
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Calculer un produit en décomposant un des facteurs (ou les deux facteurs), en appui sur une « représentation rectangulaire » du produit.
Durée
20 minutes (2 phases)
Matériel
cap-maths Manuel p. 9 exercices 3 à 8
Informations théoriques
La taille plus importante du nombre d’objets doit inciter les élèves à recourir à une décomposition d’au moins l’un des deux nombres. Il est possible que certains élèves utilisent leur connaissance sur la numération pour répondre, en faisant des paquets de dix carreaux. Le recours au mot « fois » pour expliciter les raisonnements, illustrés par les découpages correspondants, permet de renforcer le sens des écritures avec parenthèses qui les décrivent.

1. Rappel

collectif | 5 min. | découverte

➡ Insister sur l’intérêt qu’il y a à décomposer l’un des nombres, ce qui peut être trouvé ou illustré en découpant le quadrillage par exemple en 2 rectangles. Illustrer le propos avec la diapo 4

➡ Insister sur les formulations orales du type : 23 × 17, c’est 23 fois 17, donc 20 fois 17 et encore 3 fois 17 ; c’est aussi 17 fois 23, donc 10 fois 23 et encore 7 fois 23.

➡ Faire produire par les élèves les écritures à l’aide de parenthèses, par exemple : 23 × 17 = (20 × 17) + (3 × 17) 23×17=(10×17)+(10×17)+(3×17) 23×17=(23×10)+(23×7)

 

 

2. Phase d'appropriration : exercices d'application

individuel | 15 min. | recherche

Exercices 3

Le motif d’un carrelage est réalisé avec 8 rangées de 5 carreaux chacune. Combien comporte-t-il de carreaux ?

utilisation des tables de multiplication 40 carreaux.

Exercice 4,

Boris a rangé ses petites voitures en les plaçant sur 5 lignes qui comportent 12 voitures chacune. Combien Boris a-t-il de voitures ?

plusieurs procédures sont possibles, en décomposant 12 en 10 + 2, ou encore en décomposant 12 en 4 × 3 (ce qui peut conduire ensuite à calculer 5 × 4, puis 20 × 3).

; 4. 60 voitures.

Exercice 5*

On peut trouver le nombre de carreaux par ligne et par colonne, puis calculer 10 × 6.
Réponse : 60 carreaux.

Exercices 6* et 7*

Ils peuvent être traités par les élèves plus rapides.
Pour les élèves qui ont rencontré des difficultés, on peut leur demander comment utiliser le fait que 101 = 100 + 1 ou que 99 = 100 − 1, à partir d’un schéma ou d’une feuille de points (si nécessaire).
Réponses : 6. 9 494 carreaux ; 7. 8 613 carreaux.

Exercice 8*

Il conduit à calculer 2 produits et à comparer les résultats. Réponse : 46 × 25 = 1 150 et 60 × 20 = 1 200. 20 cartons suffisent.

3

Évaluation

Dernière mise à jour le 06 octobre 2019
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
évaluer connaissance
Durée
25 minutes (1 phase)
Matériel
cap maths p15 "je fais le bilan"

1. Évaluation

collectif | 25 min. | évaluation