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. Résolution de problèmes, multiplication: " Savez-vous planter les choux en carré ?"
- Discipline / domaine
- Nombres et calculs
- Objectif
- Décomposer un nombre sous forme de produit de deux nombres égaux.
– Utiliser la multiplication pour dénombrer des objets organisés en disposition rectangulaire.
- Durée
- 37 minutes (6 phases)
- Matériel
- Manuel cap-maths p. 7 questions 1 à 3
1. CHERCHER : Peut-on disposer 16 choux en carré ?
| 
3 min. | rechercheUn jardinier a décidé de toujours planter ses choux « en carré ». Il a réussi à planter 25 choux « en carré » en faisant 5 rangées de 5 choux. Il achète 16 choux. Peut-il les planter « en carré » ?
Rappeler que l’usage de la calculatrice est interdit.
Planter les choux en carré, c’est en mettre toujours le même nombre dans chaque ligne et avoir le même nombre de lignes et de colonnes.
Possibilité de leur donner une feuille quadrillée ou pointée et de leur demander comment y découper un carré contenant 16 carreaux ou 16 points.
2. Mise en commun de "Peut-on disposer 16 choux en carré ?"
| 5 min. | mise en commun / institutionnalisationincompréhension de la situation qui est alors expliquée à nouveau ;
recours à un dessin ou un schéma et réalisation de la disposition
travail à partir du dessin du manuel pour isoler 16 choux « en carré »
essai de sommes dont les termes sont égaux et qui comportent autant de termes que la valeur de chaque terme
essais de produits.
Réponse : oui, un carré de 4 sur 4.
3. Des carrés parmi les nombres inférieurs à 25 ?
| 3 min. | rechercheLe jardinier se demande quels sont les nombres de choux, plus petits que 25, qui peuvent être plantés en carré. Attention, il faut que le carré soit plein, comme sur le dessin. Vous devez trouver tous les « nombres qui marchent ». Pour le moment, les calculatrices ne sont toujours pas autorisées.
4. Mise en commun
| 10 min. | découverteInventorier les réponses ;
– faire justifier le fait qu’elles conviennent ou non (ce qui permet de préciser à nouveau la contrainte de la disposition en carré, vérifiée par un schéma ou en disposant des objets) ;
–faire expliciter les méthodes utilisées pour trouver les nombres valides : essais au hasard, essais systématiques pour tous les nombres entre 1 et 25 (1 sera sans doute rejeté mais peut être discuté, 2 ne convient pas, 3 ne convient pas, 4 convient : c’est 2 sur 2...), production effective ou par calcul des carrés successifs (1 × 1, 2 × 2, 3 × 3...)
– faire calculer les produits successifs de 2 nombres égaux (2 × 2, puis 3 × 3 et 4 × 4).
Laisser les diverses solutions au tableau.
Réponses:2×2=4, 3×3=9, 4×4=16.
5. Des carrés de 100, 50 ou 225 choux ?
| 6 min. | recherchePar équipes de deux, vous cherchez à répondre à la question 3. Le jardinier peut-il faire un carré avec 100 choux ? Vous devez écrire les étapes de votre recherche, puis votre réponse à la question et expliquer cette réponse. Vous cherchez ensuite pour 50 choux et pour 225 choux. Pour 225, vous pouvez utiliser la calculatrice, mais ce n’est pas obligatoire.
6. Mise en commun : Des carrés de 100, 50 ou 225 choux ?
| 10 min. | découverteNoter les stratégies utilisées, erronées ou correctes, en faisant expliciter les raisonnements mis en œuvre.
Par exemple, pour 225, l’approche du nombre peut se faire :
– par des essais aléatoires ;
– par des approximations successives : « C’est beaucoup plus que 10, puisqu’on a déjà trouvé que 10 × 10 = 100 » ;
– en observant le chiffre des unités : « Je n’ai essayé que des nombres terminés par 5 pour obtenir le 5 des unités » ;
– en évaluant un ordre de grandeur : « 20 × 20 = 400, c’est donc moins que 20 ».
Il est bien sûr possible que les élèves combinent ces stratégies : après avoir trouvé que le nombre est inférieur à 20, utiliser le chiffre des unités permet de trouver facilement 15 (12 sera éliminé car trop éloigné de 20).
Les moyens de calcul utilisés sont également inventoriés : à la main, à la calculatrice, en soulignant que, pour bien utiliser la calculatrice, il faut noter les résultats intermédiaires.
Un carré de 10 sur 10 pour 100 choux ou de 15 sur 15 pour 225 choux. Impossible pour 50 choux car 7 × 7 = 49 et 8 × 8 = 64.