Droites perpendiculaires et parallèles

Répartir les élèves en deux équipes.

Matérialiser une droite dans la classe et placer un plot à une distance assez éloignée (entre 3 et 5 m) pour chaque équipe.

Dans chaque équipe, les élèves proposent diverses positions pour le point cherché et le matérialisent à la craie sur la droite.

Une fois les prévisions effectuées, la vérification consiste à comparer les longueurs de la corde suivant les positions repérées. Cette vérification permet d’écarter des positions manifestement erronées et de définir une zone de points qui conviennent ; le travail géométrique permettra ultérieurement d’assurer l’unicité de la position cherchée.

Pour la comparaison deux méthodes peuvent être utilisées :

-  mettre des repères sur la corde correspondant aux différentes positions ;

– se déplacer sur la droite en maintenant une extrémité de la corde sur le piquet : un élève se déplace en marchant sur la droite ; il tient la corde dans ses mains en ajustant sa longueur pour qu’elle reste tendue pendant son déplacement. On constate que l’élève qui marche doit réduire puis allonger cette longueur pour garder la corde tendue. Faire marquer sur le sol le point où la longueur de la corde paraît la plus courte.

Demander aux élèves quelle est la position de cette corde par rapport à la droite (ou quel est l’angle formé par la corde et la droite).

Faire vérifier les hypothèses des élèves avec l’équerre de la classe : dans la position trouvée, la corde est pratiquement perpendiculaire à la droite.

Conclure : on appelle distance entre le point P et la droite d la longueur obtenue en traçant le segment perpendiculaire à d partant de P. 

​1. Les droites d et f font perpendiculaires. Est-ce vrai?

Rappeler aux élèves les caractéristique d'une droite (se prolonge indéfiniment) et d'un segment (est limité par deux points)

Faire souligner pour les élèves en difficulté de prolonger les droites pour trouver la solution.

Vérifier et valider les propositions des élèves

Correction collective

C'est vrai, les deux droites ne se coupent pas dans l’espace du dessin, mais les droites sont tout de même perpendiculaires car si on les prolonge elles se coupent en faisant un angle droit.
 

4. Quel est le point qui se trouve à la distance 2 cm de la droite d ? Explique comment tu fais pour en être sûr(e). 

5. Trace une droite d sur une feuille unie. Place deux points A et B de part et d’autre de la droite d : le point A à 5 cm de la droite d, le point B à 3 cm de la droite d.

4.Faire remarquer aux élèves que le but est de mettre en évidence le fait que, pour parler de distance d’un point à une droite, il faut contrôler la perpendicularité.

5. Laisser un temps de recherche pour résoudre le problème posé (les élèves travaillent sur leur cahier), puis demander aux élèves de confronter leur proposition avec celle de leur voisin.

Mise en commun. Demander à quelques élèves d’expliciter leur procédure.

Travail et correction individuels pour le point B.

​5.L’existence de plusieurs solutions pour le point A peut conduire certains élèves à dire que les solutions se trouvent sur la droite parallèle à la droite d située à 3 cm de d. Si c’est le cas, l’enseignant confirme cette réponse. Si elle n’est pas proposée par les élèves, ne pas l’introduire ici ; cette question sera reprise à la séance des droites parallèles.

4.  Tous les segments tracés mesurent 2 cm, mais seul le point F est à 2 cm de la droite d.
5. Les élèves ont à placer un point A à une distance imposée (5 cm) de la droite d. Ils doivent donc penser à tracer une droite perpendiculaire à la droite d en un point quelconque de d et mesurer une distance de 5 cm sur cette droite.

​Pour les élèves qui ont réussi rapidement et facilement les étapes précédentes

Enigme:

a. Chacun de ces quadrilatères a deux côtés perpendiculaires. Repasse ces côtés perpendiculaires en vert.

b. Un de ces quadrilatères a un angle droit. Lequel ? Marque son angle droit.

c. Que remarques-tu pour les quadrilatères T et U ?

Le polygone S a deux côtés perpendiculaires consécutifs qui forment un angle droit. Le polygone T possède deux côtés perpendiculaires qui ne sont pas consécutifs, mais il n’a pas d’angle droit car les côtés perpendiculaires se coupent à l’extérieur du polygone. Le polygone U possède deux côtés perpendiculaires consécutifs mais il n’a pas d’angle droit non plus car l’angle droit est extérieur au polygone.
 

Répartir les élèves en deux équipes.

Constituer deux équipes. Tracer une droite pour chaque équipe. Distribuer le matériel aux équipes (la corde peut leur servir à mesurer après avoir mis un repère pour « faire » 2 m).

L’activité s’arrête au bout du temps imparti par l’enseignant.

Laisser à chaque reprise du jeu un temps de concertation au cours duquel les élèves peuvent envisager une autre stratégie. Demander aux élèves comment sont situés les points qui conviennent. Faire vérifier les propositions des élèves en tendant la corde entre les points extrêmes : les points sont pratiquement tous alignés sur une droite qui semble parallèle à d.

Stratégies envisageables

1. Les points sont placés un à un en utilisant l’équerre et le mètre ou la corde.

2. Les points sont placés un à un en utilisant le mètre mais sans contrôler la perpendicularité.

3. Les premiers points sont placés un à un mais au bout de quatre, cinq ou plus, la droite qui joint ces points est prolongée et de nombreux points sont placés sur cette droite.

 Les élèves vérifient les distances des points à la droite (distance et orthogonalité) en acceptant une certaine imprécision en raison des difficultés liées aux instruments.

Recommencer le jeu si aucune équipe n’a réussi en utilisant la méthode experte.

​1. Observer comment tracer deux droites parallèles d1 et d2, distantes de 2 cm. Reproduire cette construction

1. Laisser un temps d’observation aux élèves puis demander à un élève de commenter les trois étapes de la procédure pendant qu’un élève suit ses instructions en faisant la construction sur le tableau de la classe (prendre 20 cm pour 2 cm) et les autres sur leur cahier. Faire expliciter la raison pour laquelle cette méthode est correcte : les droites d1 et d2 sont parallèles car elles gardent le même écart (2 cm).

Cette méthode s’appuie sur ce que les élèves viennent de découvrir dans cette étape.

1.Il présente une procédure de construction de deux droites parallèles dont on connaît l’écartement. .

4. Parmi ces polygones, certains ont des côtés parallèles. Lesquels?

Repasse de la même couleur les côtés parallèles. 

C’est la perception visuelle et la vérifi cation instrumentée qui sont travaillées ici.

Validation et correction individuelles.

Réponse : La figure A a deux côtés parallèles. La figure B a deux paires de côtés parallèles, la figure C n’en a pas.