Carré, rectangle, triangle rectangle: reproduction et construction

Préparer un lot d’équerres composé d’une équerre de tableau, d’équerres d’écolier , une équerre qui n’est pas évidée et, si possible, une équerre qui ne comporte pas de graduation.

• Montrer aux élèves ce lot d’équerres et demander :  Comment se nomment ces instruments de géométrie et à quoi servent-ils ? •Mettre en évidence les différences existant entre les équerres (taille, angles autres que l’angle droit, présence ou non d’une graduation sur un bord, équerre évidée ou non) et ce qu’elles ont de commun (un angle droit).

•Valider la présence d’un angle droit en superposant les équerres entre elles ainsi qu’avec un gabarit d’angle droit.

• Demander aux élèves d’identifier l’angle droit de leur équerre. La validation se fait par superposition avec l’équerre du voisin et avec un gabarit.

L’objectif est d’amener les élèves à identifier l’angle droit sur une équerre vendue dans le commerce, en le différenciant des autres angles et en faisant abstraction de ce qui est superflu (graduation notamment). Le travail conduit avec différents gabarits d’angle droit dans la séquence précédente  a permis de construire une image mentale de l’angle droit qui est ici mobilisée.

Fichier A et B p17

Trouver des angles droits et les coder.

Intervenir auprès des élèves pour les aider à identifier l’angle droit de leur équerre et à positionner correctement celle-ci.

Si une correction collective est effectuée, la difficulté à décrire l’angle auquel on s’intéresse pourra être l’occasion d’introduire des lettres pour désigner les extrémités des segments qui forment la ligne brisée et les sommets du polygone.

Dessiner la figure au tableau  et prolonger la construction à main levée pour préciser la tâche à réaliser.

Faire remarquer que :

– chaque nouveau segment tracé ne coupe pas un segment déjà tracé ;

– il n’y a pas besoin de mesurer la longueur des segments, seule l’équerre suffit pour continuer la construction de la spirale.

Continuer une spirale avec des angles droits

Si tous les élèves ne traitent pas cet exercice, le proposer comme activité de consolidation.

Rappel:

Les élèves rappellent les propriétés vues lors des séances précédentes d'un carré, d'un rectangle (4 côtés égaux et 4 angles droits pour le carré, 4 côtés égaux 2 à 2 pour le rectangle et 4 angles droits).
Ils savent reconnaître un triangle rectangle: triangle avec un angle droit., d'un triangle rectangle

Réaliser la construction à partir d'un texte:

Étape 1 : tracé d’un premier segment de même longueur que le côté du carré reproduit précédemment.

Étape 2 : tracé d’un second segment de même longueur que le premier formant un angle droit avec le premier segment.

Préciser aux élèves  la nécessité de déplacer l’équerre s’ils utilisent la graduation car le « 0 » de celle-ci n’est pas situé au sommet de l’angle droit.

Étape 3 : tracé d’un troisième segment de même longueur que le premier formant un angle droit avec le premier segment.

Étape 4 : tracé du quatrième segment ayant pour extrémités les extrémités libres des deuxième et troisième segments.

Remarque:

Si les élèves ne le font pas spontanément, faire contrôler que les deux derniers angles sont effectivement des angles droits et que le quatrième segment a même longueur que les autres. Il faut vérifier en fin d’étape 4 que le quadrilatère construit vérifie toutes les propriétés du carré : d’une part pour conclure que c’est un carré, d’autre part pour s’assurer de la correction des tracés.

Différenciation pour les élèves qui n'ont pas rencontré de difficultés lors de la phase 1: 

Les trois premières étapes sont identiques à la méthode 1.

Étape 4 : tracé du quatrième segment formant un angle droit au second (ou au troisième) et de même longueur que les trois autres.

Remarque:

Si la seconde extrémité de ce dernier segment ne se confond pas avec l’extrémité libre du troisième (ou du second) segment, préciser que la démarche est bonne mais le fait qu’on ne « retombe » pas sur le quatrième sommet est dû à des imprécisions de tracé.

Différenciation pour les élèves qui ont su reproduire le carré rapidement lors de la phase 1:

Étape 3 : tracé d’une demi-droite perpendiculaire au premier (ou au second) segment.

Étape 4 : tracé d’une demi-droite perpendiculaire au second (ou au premier) segment.

Remarque:

Si les élèves ne le font pas spontanément, demander là aussi de contrôler que le quatrième angle est droit et que les troisième et quatrième côtés ont même longueur que les deux autres. Si ce n’est pas exactement le cas, insister sur le fait que cela tient à des imprécisions dans l’utilisation des instruments et qu’il est important de s’appliquer pour réduire le plus possible ces imprécisions de tracé.
 

Rappel:

Les élèves rappellent les propriétés vues lors des séances précédentes d'un carré, d'un rectangle (4 côtés égaux et 4 angles droits pour le carré, 4 côtés égaux 2 à 2 pour le rectangle et 4 angles droits).
Ils savent reconnaître un triangle rectangle: triangle avec un angle droit., d'un triangle rectangle

Réaliser la construction à partir d'un texte:

Étape 1 : tracé d’un premier segment de même longueur que le côté du carré reproduit précédemment.

Étape 2 : tracé d’un second segment de même longueur que le premier formant un angle droit avec le premier segment.

Préciser aux élèves  la nécessité de déplacer l’équerre s’ils utilisent la graduation car le « 0 » de celle-ci n’est pas situé au sommet de l’angle droit.

Étape 3 : tracé d’un troisième segment de même longueur que le premier formant un angle droit avec le premier segment.

Étape 4 : tracé du quatrième segment ayant pour extrémités les extrémités libres des deuxième et troisième segments.

Remarque:

Si les élèves ne le font pas spontanément, faire contrôler que les deux derniers angles sont effectivement des angles droits et que le quatrième segment a même longueur que les autres. Il faut vérifier en fin d’étape 4 que le quadrilatère construit vérifie toutes les propriétés du carré : d’une part pour conclure que c’est un carré, d’autre part pour s’assurer de la correction des tracés.

Différenciation pour les élèves qui n'ont pas rencontré de difficultés lors de la phase 1: 

Les trois premières étapes sont identiques à la méthode 1.

Étape 4 : tracé du quatrième segment formant un angle droit au second (ou au troisième) et de même longueur que les trois autres.

Remarque:

Si la seconde extrémité de ce dernier segment ne se confond pas avec l’extrémité libre du troisième (ou du second) segment, préciser que la démarche est bonne mais le fait qu’on ne « retombe » pas sur le quatrième sommet est dû à des imprécisions de tracé.

Différenciation pour les élèves qui ont su reproduire le carré rapidement lors de la phase 1:

Étape 3 : tracé d’une demi-droite perpendiculaire au premier (ou au second) segment.

Étape 4 : tracé d’une demi-droite perpendiculaire au second (ou au premier) segment.

Remarque:

Si les élèves ne le font pas spontanément, demander là aussi de contrôler que le quatrième angle est droit et que les troisième et quatrième côtés ont même longueur que les deux autres. Si ce n’est pas exactement le cas, insister sur le fait que cela tient à des imprécisions dans l’utilisation des instruments et qu’il est important de s’appliquer pour réduire le plus possible ces imprécisions de tracé.
 

Rappeler ce qu'est un triangle rectangle.

Distribuer un modèle de triangle rectangle à reproduire: un côté de 6 cm et un de 8 cm perpendiculaires. le troisième côté 10 cm.

Les élèves ne savent pas a priori que la mesure des deux côtés de l’angle droit suffit pour reproduire le triangle.

Nombreux sont ceux qui vont effectuer la mesure des trois côtés.

Procédures possibles effectuées par les élèves:

Méthode 1 : Tracés ajustés

Étape 1 : Tracé d’un premier côté, par exemple celui de 6 cm.

Étape 2 : Tracé d’un second côté, par exemple de 8 cm.

Étape 3 : Vérification avant de tracer le troisième côté qu’il mesure bien 6 cm.

Si nécessaire, ajustement de la position du second côté. Contrôle que l’angle formé par les côtés mesurant 6 cm et 8 cm est droit. Cette construction ne fait pas intervenir que le triangle est rectangle.

Les élèves peuvent décider de ne placer que l’extrémité du second segment afin de ne pas avoir à effacer ce segment si celui-ci n’est pas à 6 cm de la seconde extrémité du premier segment.

Méthode 2

Étape 1 : Tracé d’un premier côté de l’angle droit, par exemple celui de 8 cm.

Étape 2 : Tracé de l’angle droit et sur le second côté de celui-ci d’un segment de 6 cm.

Étape 3 : Vérification que le troisième côté du triangle mesure 10 cm.

Organiser la mise en commun :

Afficher au tableau les productions des élèves en séparant les constructions erronées des constructions correctes

Analyser les procédures de construction avec les élèves méthode 1 ou méthode 2 :

Différenciation

– la méthode 1 qui sollicite la mesure des trois côtés : demander aux élèves qui ont utilisé cette méthode de la dictée à un autre élève ;

admettre que s'il ne propose pas de tracé l'angle droit le triangle a besoin d'être ajusté.

– poursuivre par la méthode 2 utilisant le tracé de l’angle droit ;

Conclure:

Demander aux élèves de se prononcer sur la rapidité de ces deux méthodes pour conclure à la  méthode 2 la plus efficace.
 

Tracer des angles droits
Vérifier les propriétés d'un rectangle
Construire un triangle rectangle et un carré
 

Exercice A

Identifier des carrés, rectangles et triangles rectangles dans une figure complexe.

Informer les élèves qu’ils disposent de leur règle graduée et de leur équerre (ou d’un gabarit d’angle droit pour les élèves ayant des difficultés à utiliser l’équerre).

Après la recherche mettre en évidence :
triangle rectangle, carré, rectangle
•Pour identifier un triangle rectangle, un carré ou un rectangle :
– on commence par identifier perceptivement les figures qui peuvent convenir ;
– ensuite, on contrôle avec les instruments les propriétés des figures retenues : un angle droit pour le triangle rectangle, quatre angles droits et quatre côtés de même longueur pour le carré, quatre angles droits et côtés opposés de même longueur pour le rectangle.
•Pour identifier perceptivement un angle droit, un carré ou un rectangle, on peut procéder de différentes manières :
– tourner la feuille ou tourner la tête afin que les côtés de l’angle ou du quadrilatère soient horizontaux et verticaux ;
– imaginer le mouvement, sans l’effectuer physiquement ;
– dans le cas de l’angle droit, imaginer venir placer sur l’angle une équerre ou le « coin » d’un carré ou d’un rectangle.

réponse : 4 triangles rectangles,  1 carré et 1 rectangle  (plus le grand rectangle).