La multiplication et la division avec la méthode de Singapour de La Librairie des Écoles

Projeter l’illustration page 79 du fichier B au tableau ou demander aux élèves d’observer leur fichier. Commencer par situer le lieu et l’activité réalisée par les enfants : « Où sont Maël, Idris, Adèle et Alice ? », « Que font-ils ? »

Être attentif aux réponses des élèves, notamment à l’évocation des différentes catégories d’aliments (tartes, chaussons, pommes vertes et rouges), leur répartition dans les contenants ainsi que le nombre de contenants. Laisser les élèves s’exprimer sur tous les indices présents dans l’image et expliquez-leur qu’ils vont découvrir dans cette unité différentes façons de grouper et de partager les éléments d’une collection.

Dans cette unité, la multiplication et la division sont traitées simultanément. Il s’agit d’expliquer le sens des opérations.

Le groupement des tartes et des chaussons permet d’illustrer les termes de la multiplication. Le nombre de chaussons dans une assiette correspond au nombre d’élé- ments dans un groupe. Ce nombre est visible dans l’addition réitérée. Le nombre d’assiettes correspond au nombre de groupes : il n’est pas visible dans l’addition réitérée. Il se déduit en comptant le nombre d’itérations.

Pour la division, d’une part Alice répartit les 15 pommes en trois groupes égaux (connu) et cherche le nombre de pommes dans chaque groupe (inconnu) : c’est le partage équitable ou la division- partition. D’autre part, Maël fait des groupes de trois (connu) avec 15 pommes et cherche le nombre de groupes possibles (inconnu) : c’est le regroupement ou la division-quotition.

Mimer la situation en utilisant des jetons. Dans chaque cas, inciter les élèves à dire ce qu’ils savent et ce qu’ils cherchent.

Faire travailler les élèves par groupes de quatre. Donner à chaque groupe un sac opaque contenant 20 jetons, et à chaque élève une assiette en carton. Chaque élève doit mettre 3 jetons dans son assiette et passer le sac au suivant. Les élèves dessinent ensuite sur leur ardoise toutes les assiettes et tous les jetons qui y ont été posés. Lors de la mise en commun, comparer les dessins. Inciter les élèves à formuler ce qu’ils voient : « Il y a 4 assiettes et dans chaque assiette, il y a 3 jetons. »

Demander aux élèves d’écrire sur leur ardoise combien de jetons il y a en tout. Observer les procédures des élèves : dessin, dénombrement, groupement par 3, addition réitérée. Expliquer qu’on écrit 3 + 3 + 3 + 3 = 12 et que 3 correspond au nombre de jetons dans chaque assiette. Les assiettes symbolisent les groupes de 3 jetons.

Recommencer le jeu avec 5 jetons dans chaque assiette. Demander aux élèves de dessiner ce qu’ils voient et d’écrire combien de jetons il y a en tout. Prendre en compte toutes les écritures possibles, même si les élèves n’utilisent pas l’addition réitérée.

Dans les exercices de la page 81 du fichier B, les élèves comptent et valident le nombre d’objets dans chaque groupe, puis comptent et valident le nombre de groupes.

Proposer de mimer la situation 1 de l’exercice 1 page 241 des fiches photocopiables.

Faites remarquer que lorsque le nombre d’enfants et de groupes augmente, le dénombrement n’est pas adapté car il est source d’erreurs. L’objectif est de faire sentir aux élèves la nécessité d’utiliser le groupement et l’écriture additive.

Dans les exercices page 242, faire observer que les groupes – représentés par les colonnes – sont égaux, ils comportent le même nombre de points. Les exercices pages 243 et 244 montrent que le signe = ne traduit pas seulement le résultat d’une opération mais également les différentes écritures possibles d’une quantité : sous la forme d’un dessin, du nombre de groupes égaux ainsi que de l’addition réitérée.

Présenter le problème suivant aux élèves : « Par groupes de 8 élèves, vous devez réaliser un joli dessin. Pour cela, vous avezbesoin de 4 crayons de couleur par élève. Combien de crayons de couleur faut- il pour les 8 élèves ? » Laisser les élèves chercher la réponse sur leur ardoise et comparer par binôme leurs procédures. Lors de la mise en commun, noter au tableau toutes les procédures, même celles qui sont erronées. L’objectif est de discuter l’efficacité et la fiabilité des différentes stratégies : dénombrement, dessin (ou schéma) des 32 crayons, dessin des 8 groupes de 4 crayons, écriture chiffrée de l’addition réitérée.

Expliquer que, par souci d’efficacité, vous allez remplacer le dénombrement et l’écriture sous forme d’additions répétées par une nouvelle opération qui s’appelle la multiplication. Dans une addition réitérée, il peut y avoir trop de nombres, le calcul est long. Avec la multiplication, il n’y a que deux nombres, le calcul est bien plus rapide.

Projeter l’exercice 1 page 83 du fichier B. Demander aux élèves de décrire ce qu’ils voient. Inciter à expliquer à quoi correspondent les nombres dans les phrases mathématiques (5 x 6 = 30 et 3 x 5 = 15). L’exercice 2) a) est difficile : les élèves peuvent travailler en binômes hétérogènes.

La première phrase mathématique permet de trouver le nombre total d’aquariums, la seconde de trouver le nombre total de poissons.

L’exercice 2) b) est plus difficile encore : il faut distinguer deux groupes (les perles rouges et les perles mauves) sur un même objet, le collier. Proposer aux élèves qui en ressentent le besoin de mimer l’activité avec des perles et de décomposer le collier en disposant les perles sur des assiettes pour compter le nombre de groupes.

Pour l’activité 2 des pages 245 et 246 des fiches photocopiables, expliquer les termes             « chaque » (correspond à un groupe) et « en tout » (correspond au nombre total d’objets).

Présenter le problème suivant aux élèves : « Par groupes de 8 élèves, vous devez réaliser un joli dessin. Pour cela, vous avezbesoin de 4 crayons de couleur par élève. Combien de crayons de couleur faut- il pour les 8 élèves ? » Laisser les élèves chercher la réponse sur leur ardoise et comparer par binôme leurs procédures. Lors de la mise en commun, noter au tableau toutes les procédures, même celles qui sont erronées. L’objectif est de discuter l’efficacité et la fiabilité des différentes stratégies : dénombrement, dessin (ou schéma) des 32 crayons, dessin des 8 groupes de 4 crayons, écriture chiffrée de l’addition réitérée.

Expliquer que, par souci d’efficacité, vous allez remplacer le dénombrement et l’écriture sous forme d’additions répétées par une nouvelle opération qui s’appelle la multiplication. Dans une addition réitérée, il peut y avoir trop de nombres, le calcul est long. Avec la multiplication, il n’y a que deux nombres, le calcul est bien plus rapide.

Projeter l’exercice 1 page 83 du fichier B. Demander aux élèves de décrire ce qu’ils voient. Inciter à expliquer à quoi correspondent les nombres dans les phrases mathématiques (5 x 6 = 30 et 3 x 5 = 15). L’exercice 2) a) est difficile : les élèves peuvent travailler en binômes hétérogènes.

La première phrase mathématique permet de trouver le nombre total d’aquariums, la seconde de trouver le nombre total de poissons.

L’exercice 2) b) est plus difficile encore : il faut distinguer deux groupes (les perles rouges et les perles mauves) sur un même objet, le collier. Proposer aux élèves qui en ressentent le besoin de mimer l’activité avec des perles et de décomposer le collier en disposant les perles sur des assiettes pour compter le nombre de groupes.

Pour l’activité 2 des pages 245 et 246 des fiches photocopiables, expliquer les termes             « chaque » (correspond à un groupe) et « en tout » (correspond au nombre total d’objets).

Demander à cinq élèves de tirer à tour de rôle quatre cartes. Disposer les cinq paquets de quatre cartes sur une affiche bleue. Quatre élèves tirent ensuite à tour de rôle cinq cartes. Disposer les quatre paquets de cinq cartes sur une affiche rouge. Solliciter les élèves pour savoir quelles sont les questions qu’ils se posent en regardant les paquets sur les deux affiches. Noter au tableau ces questions. Exemples de questions : « Est-ce qu’il y a le même nombre de cartes sur les deux affiches ? », « Combien y a-t-il de cartes en tout sur chaque affiche ? » Inciter les élèves à écrire sur leur ardoise la phrase mathématique qui correspond à l’affiche bleue et celle correspondant à l’affiche rouge. Les élèves comparent ce qu’ils ont écrit. Discuter ensuite en classe entière de toutes les façons de trouver le nombre total de cartes sur chaque affiche : dénombrement, écriture du nombre de paquets et du nombre de cartes par paquet, addition réitérée, calcul mental. Comparer les résultats : il y a la même quantité de cartes sur les deux affiches. C’est le nombre de cartes par groupe et le nombre de groupes qui changent.

Distribuer l’activité 3 pages 247 à 250 des fiches photocopiablesaux élèves. Proposer de travailler en binômes homogènes et adaptez le nombre d’exercices à leur rythme.

Des aides doivent être disponibles : table d’addition, bande numérique, etc.

L’exercice page 248 demande aux élèves de compter le nombre d’oreilles ou de pattes. Compter les deux oreilles du premier lapin afin d’aider les élèves à comprendre l’énoncé.

 Pages 249 et 250, expliquer que le nombre de groupes multiplié par le nombre de points sur une ligne correspond au nombre total de points dans le rectangle

L’approche de la division, amorcée en maternelle, passe par une mise en situation concrète qui permet aux élèves de comprendre le sens de cette opération. La séance 128 est consacrée à la division-partition (ce terme n’est pas à connaître par les élèves). Il s’agit de déterminer la valeur d’une part (nombre d’objets dans chaque groupe).

Projeter la page 86 du fichier B et questionner les élèves : « Comment faire pour partager équitablement 12 pommes entre les 3 enfants ? » Demander aux élèves d’observer à nouveau la situation illustrée enpage 79 du fichier B et d’identifier l’enfant qui réalise un partage équitable (Alice). Faire le lien avec la situation de la page 86.

Diviser les élèves en groupes de trois, donner à chaque groupe un sac de 12 jetons (représentant les pommes) et à chaque élève une assiette en carton. Présenter l’activité :     « Vous devez répartir les 12 jetons dans 3 assiettes. Attention, chaque assiette doit contenir le même nombre de jetons. » Laisser les élèves s’organiser et observez les procédures. Lors de la mise en commun, faire verbaliser toutes les procédures : mettre un jeton dans chaque assiette plusieurs fois, ou bien mettre plusieurs jetons à la fois dans les assiettes, comparer puis enlever ou ajouter des jetons jusqu’à ce qu’il y ait le même nombre de jetons dans chaque assiette. Comparer les résultats obtenus : il doit y avoir quatre jetons dans chaque assiette.

« Nous avons divisé 12 pommes en 3 groupes égaux. Ce procédé s’appelle le partage équitable. »
Interroger les élèves : « Que trouverait-on si on rassemblait les 3 groupes de 4 pommes ? »

Écrire au tableau :

Division : partager 12 en 3 groupes égaux. On trouve 4. Multiplication : réunir les 3 groupes de 4. On retrouve 12.

Distribuer l’activité 4 pages 251 à 254 des fiches photocopiables.

Pour l’exercice 1, expliquer le terme « ensemble » qui correspond ici aux aliments d’une même catégorie. Identifier, en les pointant, les cadres permettant de constituer les groupes d’aliments pour chaque enfant.

Collectivement, donner un exemple en répartissant les trois œufs : un œuf dans chaque groupe.

Dans l’exercice 3, rappelez la notion de reste non nul liée au partage équitable.

Laisser ensuite les élèves travailler individuellement.

La recherche du nombre de groupes correspond à la division- quotition, souvent rencontrée dans la vie quotidienne (le terme « division-quotition » n’est pas à connaître par les élèves). Le nombre total d’objets et la valeur d’une part sont connus, on cherche le nombre de groupes.

Projeter l’encadré « J’observe » de la page 88 du fichier B. « Idris a 12 pêches. Il veut faire des groupes de 3 pêches. Combien y aura-t-il de groupes ? »

Demander aux élèves d’observer à nouveau la situation illustrée en page 79 du fichier B et d’identifier l’enfant qui réalise un regroupement (Maël). Faire le lien avec la situation de la page 88. Prendre 12 jetons et expliquez aux élèves qu’ils représentent les 12 pêches. « Je veux grouper mes 12 pêches dans des assiettes qui peuvent contenir 3 pêches. De combien d’assiettes ai-je besoin ? » Appeler un élève pour réaliser cette manipulation devant toute la classe. Demander de mettre 3 jetons dans une assiette. « Peux-tu faire encore un groupe de 3 ? » Faire remplir une autre assiette, puis une autre et ainsi de suite.

Insister sur la différence de manipulation par rapport au partage équitable : pour ce dernier, on met un jeton par assiette, puis on recommence jusqu’à ce qu’on n’ait plus de jetons. Pour le groupement, on remplit l’assiette du nombre final de jetons, puis on passe à l’assiette suivante.

« Nous avons “divisé” 12 pêches par groupes de 3, nous avons pu faire 4 groupes. Ce procédé s’appelle le regroupement. »

Souligner la relation avec la multiplication : « Que trouverait-on si on rassemblait 4 groupes de 3 pêches ? » (Réponse : on retrouverait les 12 pêches de la situation initiale.)

Écrire au tableau :

Division : regrouper 12 par groupes de 3. On trouve 4. Multiplication : réunir les 4 groupes de 3. On retrouve 12.

Au cours d’une séance d’EPS, proposer le problème suivant aux élèves : « Je veux distribuer 1 ballon par groupe de 4 élèves. Combien de ballons me faut-il ? »

Demander aux élèves de s’organiser comme ils le souhaitent : ils peuvent choisir de faire un grand dessin et d’encercler 4 élèves à la fois, prendre un nombre de compteurs égal au nombre d’élèves de la classe, tels des cubes multidirectionnels, et les emboîter 4 par 4, etc. Laisser aux élèves le choix des outils dont ils ont besoin leur permet de progresser efficacement dans la résolution de problèmes.

Diviser la classe en groupes de 4 élèves et donner un sac de 30 jetons par groupe. Demander aux élèves de chercher en combien de groupes de 6 jetons on peut diviser le contenu du sac. Inciter à écrire leur procédure sur une affiche.

Lors de la mise en commun, comparer toutes les procédures : on dessine les 30 jetons et on entoure des groupes de 6 ; on dessine des groupes de 6 jetons et on compte jusqu’à 30 ; on compte de 6 en 6 jusqu’à 30.

Vérifier avec les élèves qu’il y a 5 groupes, qu’ils sont tous égaux et contiennent 6 jetons. Collectivement, rappeler la situation initiale et ce qui a été fait : « Nous avons divisé 30 jetons en 5 groupes de 6 jetons. Nous avons fait 5 groupes égaux de 6 jetons. »

Distribuer aux élèves l’activité 5 pages 255 et 256 des fiches photocopiables. Observer les trois exercices page 255 et questionnez les élèves sur ce qu’ils doivent faire. Insister sur le terme « diviser » : « On divise le nombre de sacs en groupes de 5. »

Constater qu’on ne connaît pas le nombre total d’objets pour chacune des collections.

Cette situation permet de revenir sur la multiplication (opération inverse de la division) : si on connaît le nombre d‘objets par groupe et le nombre de groupes, on peut calculer le nombre total d’objets. On utilise l’addition réitérée (ou la table d’addition pour les doubles). 

Page 256, les situations- problèmes sont complexes. Les élèves doivent être capables de lire et d’interpréter les données chiffrées ainsi que les formes géométriques à réaliser. Les situations peuvent être modélisées avec des allumettes ou des crayons.

Prendre le temps d’observer la page 90 du fichier B en trois étapes. Pour la multiplication, l’objectif est de comparer avec les élèves l’organisation des deux collections et de constater que le nombre total d’objets est le même. Rappeler les phases de la recherche : passer du dessin à l’addition réitérée, compter le nombre de groupes égaux et traduire le résultat par une phrase mathématique avec le signe de la multiplication. Insister sur les rôles différents du multiplicateur (nombre de groupes) et du multiplicande (nombre d’éléments dans chaque groupe). Cela explique pourquoi il y a deux interprétations différentes de la division : la recherche du nombre de groupes quand on regroupe ; la recherche du nombre d’objets dans chaque groupe quand on partage.

Rappeler que quand on partage (division-partition), on connaît le nombre total d’objets ainsi que le nombre de groupes égaux. On cherche le nombre d’objets par groupe.
Rappeler que quand on regroupe (division-quotition), on connaît le nombre total d’objets et le nombre d’objets par groupe. On cherche le nombre de groupes.

L’exercice proposé permet d’identifier les structures multiplicatives, de partage ou de groupement maîtrisées par les élèves. Vérifier que les élèves utilisent toutes les données connues, c’est-à- dire le nombre total de noisettes et d’écureuils, pour inventer leur histoire. Valider les histoires pour lesquelles l’écriture des étapes de la multiplication ou de la division est correcte, même si certains élèves n’utilisent pas toutes les données.