Proportionnalité

1. Répartition des élèves par groupe de 4.
2. Chaque groupe reçoit un puzzle découpé dans une enveloppe.
3. Les élèves reconstituent le puzzle en observant celui affiché au tableau.
4. Les élèves prennent chacun une pièce du puzzle et mesurent les dimensions exactes.
5. Ils écrivent les dimensions en cm sur chaque pièce.
6. Les mesures sont vérifiées collectivement et notées au tableau : 

• Pièce A : 4 cm de côté
• Pièce B : long 2cm ; larg 6cm
• Pièce C : long 4cm ; larg 2cm.
• Pièce D : long 10cm ; larg 6cm
• Pièce E : long 16 cm ; larg 4 cm

Pièces de différentes formes selon le niveau des élèves.

2 possibilités : 

1. Aucun groupe n'a réussi à agrandir le puzzle ►Mise en commun pour mettre en évidence les méthodes qui ne fonctionnent pas ► Relance du travail de recherche.

2. Certains groupes ont réussi à agrandir le puzzle ► Mise en commun pour comparer les différentes méthodes utilisées ►Phase d'institutionnalisation.

Dans le cas 1 : 

- Mettre en évidence les méthodes qui ne fonctionnent pas.

- Les élèves ajoutent 2 à chaque mesure.

- Ajouter des mesures différentes à chaque côté un peu au "hasard".

- Doubler les mesures

- Ajouter 2 à chaque côté ne permet pas d'agrandir.

- Agrandir, ce n'est pas ajouter le même nombre.

⇒ Relance phase collective

- Agrandir ce n'est pas ajouter le même nombre, il faut trouver une autre solution.

 "N'y aurait-il pas une autre relation entre 4 et 6 que celle qui consiste à ajouter 2 ? "

- L'enseignant peut proposer différentes aides à la recherche lors de la phase collective.

- En comparant le rectangle initial et le rectangle agrandi lors d'une procédure erronée, les élèves font différentes remarques : 

• remarques sur la forme globale, le non-respect des proportions.
• remarques sur les rapports entre les dimensions (dans le petit rectangle, la longueur est le double de la largeur, mais pas dans le grand).
• remarques sur les rapports d'agrandissement différents pour la largeur et longueur (la largeur est doublée -passage de 2 à 4, mais pas la longueur - passage de 4 à 6).

- L'enseignant peut proposer un tableau collectif : 

- Recherche travail de groupe : les élèves se concertent à nouveau pour trouver une méthode différente qui fonctionne.

Dans le cas 2 : 

→ comparaison des méthodes qui fonctionnent.

1. Première méthode : ajouter la moitié de la longueur de chaque mesure.

La notion de coefficient de proportionnalité peut ressortir. Pour agrandir, on peut faire une fois et demie toutes les dimensions (fois 1, 5).

2. Deuxième méthode : utilisation des propriétés de linéarité.

Rapports entre les dimensions d'une même pièce "2, c'est la moitié de 4, donc ce qui correspond à 2, c'est la moitié de 6."

"16, c'est 4 fois 4, donc ce qui correspond à 16, c'est 4 fois 6...".

- respect des proportions.

→ Le tableau des proportions peut être complété.

Vous allez devoir réaliser l'agrandissement et la réduction d'un puzzle. Le coefficient que je vous propose pour l'agrandissement est de 3 fois les mesures à l'origine. Pour la réduction, le coefficient est 0,5 fois le puzzle à l'origine.

Activité et production attendue : 
- Agrandissement/réduction d'un puzzle (coefficient 3x  et 0.5x (ou :2))
- Comparer différents agrandissements d'une même figure et retrouver ceux qui sont issus d'un agrandissement proportionnel.

Le groupe de besoin ne réalise que l'agrandissement (coef 3x) en manipulant.

- Réussite de la présentation des résultats.

- Réalisation de l'agrandissement et de la réduction demandés.

Première situation problème :

→ Construction d'un tableau de proportionnalité pour un commerçant : 6 pains au chocolat coûtent 5,40€. Combien coûtent 2, 9, 12, 16 pains au chocolat ?

Vous allez devoir aider un boulanger. Il souhaiterait savoir combien ça lui coûterait de fabriquer davantage de pains au chocolat. Il sait que pour en fabriquer 6, cela lui coûte 5,40€. Combien ça lui coûterait s'il en fabriquait 2, 9, 12, 19 ?

L'enseignant répond aux questions des élèves, et passe dans les rangs pour observer les différentes procédures des élèves.

Les élèves sont par groupe de 2, ils tâtonnent pour trouver la solution.

Deuxième situation problème : 

Réécrire une recette pour un nombre de personnes différent. Présenter ses résultats sous la forme d'un tableau de proportionnalité.

Voici une recette de mousse au chocolat, elle donne les quantités pour réaliser 4 coupes de mousse. J'aimerai faire cette recette chez moi, sauf que je n'arrive pas à calculer pour 10 et 12  personnes. Pourriez-vous m'aider ?

L'enseignant répond aux questions des élèves, et passe dans les rangs pour observer les différentes procédures des élèves.

Distribution du tableau de proportionnalité attendu et demander de le remplir.

Séance 4 : 

Problème de proportionnalité divers (procédures de résolution variées) permettant aux élèves de s'approprier les procédures de résolution.

Problème 1 : 

Le responsable de la cantine commande 10 pains pour 40 élèves. Combien doit-il commander de pains pour 200 élèves ?

Problème 2 :

Stéphane achète 8 tartelettes aux fraises. Il paye 14 €. Combien coûtent 9 tartelettes aux fraises ?

Problème 3 : 

Pour une séance de peinture il faut 5 grandes feuilles de papier à dessin pour un groupe de 4 élèves. La classe compte 28 élèves. Combien l'enseignante doit-elle prévoir de feuilles de papier à dessin ?

Evaluation au bout de la séance 6 :  

En séance 6, évaluation sommative (étape 1) (résolution individuelle) afin de s'assurer que des stratégies de résolution sont acquises.

Séance 5 - 6 : 

Réalisation d'exercices manuel "à portée de maths"

Un commerçant propose 25% de remise sur tout son magasin. Indique le montant de la réduction, puis les prix des articles après déduction de la remise.

Présentation du tableau de l'exercice.

Questionnement des élèves.

Les élèves viennent proposer leurs procédures au tableau en expliquant leur cheminement.

J'aiguille les élèves s'ils semblent en difficulté face au groupe classe.

1. Résolution de problèmes : 

Problèmes de proportionnalité impliquant des pourcentages, permettant aux élèves de s'approprier les procédures de résolution.

→ Exercices dans manuel "à portée de maths"

2. Correction des exercices / mise en commun.

1. Résolution de problèmes : 

Problèmes de proportionnalité impliquant l'utilisation d'une échelle donnée (exemple, réaliser un plan de la classe avec son mobilier ou de la cour...). Après avoir donné l'échelle (ex : 1 cm sur le plan = 10 cm en réalité).

1. Sur un plan à l'échelle, une longueur réelle de 6 m est représentée par une longueur de 9 cm. Par quelle longueur sur le plan est représentée une longueur réelle de 4,8 m ?
2. Un randonneur prépare son itinéraire sur une carte à l'échelle 1/25 000. Il mesure pour le 1er jour 35 cm et 43 cm pour le 2ème jour. Quelle distance réelle va-t-il parcourir pour sa randonnée ?

2. Mise en commun

Les élèves exposent leurs résultats.

3. Institutionnalisation

Distribution trace écrite + lecture et compréhension des élèves.

1. Résolution de problèmes : 

Problèmes de proportionnalité dans lequel les élèves devront calculer une vitesse en km/h en se basant sur une distance parcourue en un certain nombre de minute. Liaison avec l'EPS : course longue : donner une distance à parcourir, chronométrer, puis en retour classe demander de calculer la vitesse en km/h.

1. Une bicyclette roule à la vitesse moyenne de 18 km à l'heure. Calcule combien de kilomètres il fera dans les cas suivants : 

1. Un escargot parcourt 4 m en 10 min. Sa vitesse est toujours la même.

• Quelle distance va-t-il parcourir en 5 min ; en 15 min ; en 45 min ?
• Quelle est sa vitesse moyenne exprimée en mètres par heure ?

2. Mise en commun

3. Institutionnalisation 

Distribution trace écrite + lecture des élèves et compréhension.

Présentation aux élèves de la tâche à effectuer : 

Grâce à la vente des livres du festival, chaque classe à la chance de pouvoir acheter des livres. Nous avons obtenu 53,25€. L'idée est que, par groupe de 2, vous allez vous mettre d'accord pour choisir une sélection de livres pour les futurs CM2. Sachez que sur chaque livre vous avez une remise de 9% sur le prix. Donc attention il va falloir modifier les prix indiqués.

Demande aux élèves de venir exposer leurs procédures.

Les élèves viennent par groupe expliquer leurs procédures, les autres questionnent afin d'approfondir chacune des méthodes.