Proportionnalité

Disciplines
Nombres et calculs et Espace et géométrie
Niveaux
CM2.
Auteur
N. DELAUNAY
Objectif
COMPETENCES :

- Reconnaitre et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée.
- Agrandir ou réduire une figure.
- Reproduire une figure en respectant une échelle.

OBJECTIFS :
Relation avec les programmes
Cette séquence n'est pas associée aux programmes.
Dates
Créée le 21 mai 2017
Modifiée le 22 mai 2017
Statistiques
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Licence
CC-BY-NC-SALicence Creative Commons : Paternité - Pas d'utilisation commerciale - Partage des conditions initiales à l'identique ?.

1: Découverte du principe de proportionnalité

Déroulement des séances

1

Séance 1

Dernière mise à jour le 21 mai 2017
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Comprendre qu'agrandir, c'est respecter les proportions.
Durée
50 minutes (4 phases)
Matériel
- Un petit puzzle affiché au tableau.
- Un puzzle agrandi avec un coefficient 1,5 affiché au tableau.
- Un petit puzzle découpé par groupe dans une enveloppe.
- Du papier blanc ou quadrillé.
- une règle
- un crayon de bois
- une gomme

1. Présentation du puzzle

groupes de 4 | 5 min. | découverte
  1. Répartition des élèves par groupe de 4.
  2. Chaque groupe reçoit un puzzle découpé dans une enveloppe.
  3. Les élèves reconstituent le puzzle en observant celui affiché au tableau.
  4. Les élèves prennent chacun une pièce du puzzle et mesurent les dimensions exactes.
  5. Ils écrivent les dimensions en cm sur chaque pièce.
  6. Les mesures sont vérifiées collectivement et notées au tableau : 
  • Pièce A : 4 cm de côté
  • Pièce B : long 2cm ; larg 6cm
  • Pièce C : long 4cm ; larg 2cm.
  • Pièce D : long 10cm ; larg 6cm
  • Pièce E : long 16 cm ; larg 4 cm

Pièces de différentes formes selon le niveau des élèves.

2. Exposition de la situation problème et recherche

groupes de 4 | 20 min. | recherche

Faites le même grandissement en suivant cette consigne : 4 cm sur le petit puzzle correspond à 6 cm sur le puzzle agrandi.

- Concertation au sein du groupe pour se mettre d'accord sur une manière de faire.

- Réalisation individuelle de chaque pièce.

- Essai de reconstitution du puzzle.

- Echanges à l'intérieur du groupe sur le résultat obtenu et la méthode utilisée.

3. Mise en commun

collectif | 20 min. | mise en commun / institutionnalisation

2 possibilités : 

1. Aucun groupe n'a réussi à agrandir le puzzle ►Mise en commun pour mettre en évidence les méthodes qui ne fonctionnent pas ► Relance du travail de recherche.

2. Certains groupes ont réussi à agrandir le puzzle ► Mise en commun pour comparer les différentes méthodes utilisées ►Phase d'institutionnalisation.

Dans le cas 1 : 

- Mettre en évidence les méthodes qui ne fonctionnent pas.

- Les élèves ajoutent 2 à chaque mesure.

- Ajouter des mesures différentes à chaque côté un peu au "hasard".

- Doubler les mesures

- Ajouter 2 à chaque côté ne permet pas d'agrandir.

- Agrandir, ce n'est pas ajouter le même nombre.

⇒ Relance phase collective

- Agrandir ce n'est pas ajouter le même nombre, il faut trouver une autre solution.

 "N'y aurait-il pas une autre relation entre 4 et 6 que celle qui consiste à ajouter 2 ? "

- L'enseignant peut proposer différentes aides à la recherche lors de la phase collective.

- En comparant le rectangle initial et le rectangle agrandi lors d'une procédure erronée, les élèves font différentes remarques : 

  • remarques sur la forme globale, le non-respect des proportions.
  • remarques sur les rapports entre les dimensions (dans le petit rectangle, la longueur est le double de la largeur, mais pas dans le grand).
  • remarques sur les rapports d'agrandissement différents pour la largeur et longueur (la largeur est doublée -passage de 2 à 4, mais pas la longueur - passage de 4 à 6).

- L'enseignant peut proposer un tableau collectif : 

4 cm6 cm
2 cm 
6 cm 
10 cm 
16 cm 

- Recherche travail de groupe : les élèves se concertent à nouveau pour trouver une méthode différente qui fonctionne.

 

Dans le cas 2 : 

→ comparaison des méthodes qui fonctionnent.

1. Première méthode : ajouter la moitié de la longueur de chaque mesure.

La notion de coefficient de proportionnalité peut ressortir. Pour agrandir, on peut faire une fois et demie toutes les dimensions (fois 1, 5).

2. Deuxième méthode : utilisation des propriétés de linéarité.

Rapports entre les dimensions d'une même pièce "2, c'est la moitié de 4, donc ce qui correspond à 2, c'est la moitié de 6."

"16, c'est 4 fois 4, donc ce qui correspond à 16, c'est 4 fois 6...".

- respect des proportions.

→ Le tableau des proportions peut être complété.

4. Ce qui "doit rester" et être retenu en fin de séance

collectif | 5 min. | mise en commun / institutionnalisation

Pour agrandir les figures, on n'ajoute pas le même nombre à toutes les dimensions.

Deux méthodes permettent d'agrandir : 

- L'utilisation des propriétés de linéarité.

- L'utilisation d'un coefficient de proportionnalité.

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Séance 2

Dernière mise à jour le 22 mai 2017
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
- Faire apparaître le coefficient de proportionnalité.
Présenter ses résultats sous une forme organisée (vers le tableau de proportionnalité).
Durée
50 minutes (1 phase)

1. Réalisation de la tâche

binômes | 50 min. | entraînement

Vous allez devoir réaliser l'agrandissement et la réduction d'un puzzle. Le coefficient que je vous propose pour l'agrandissement est de 3 fois les mesures à l'origine. Pour la réduction, le coefficient est 0,5 fois le puzzle à l'origine.

 

Activité et production attendue : 
- Agrandissement/réduction d'un puzzle (coefficient 3x  et 0.5x (ou :2))
- Comparer différents agrandissements d'une même figure et retrouver ceux qui sont issus d'un agrandissement proportionnel.

 

Le groupe de besoin ne réalise que l'agrandissement (coef 3x) en manipulant.

 

- Réussite de la présentation des résultats.

- Réalisation de l'agrandissement et de la réduction demandés.

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Séance 3

Dernière mise à jour le 22 mai 2017
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Identifier différentes stratégies pour résoudre un problème de proportionnalité.
Durée
65 minutes (4 phases)

1. Présentation de la tâche

binômes | 20 min. | recherche

Première situation problème :

→ Construction d'un tableau de proportionnalité pour un commerçant : 6 pains au chocolat coûtent 5,40€. Combien coûtent 2, 9, 12, 16 pains au chocolat ?

Vous allez devoir aider un boulanger. Il souhaiterait savoir combien ça lui coûterait de fabriquer davantage de pains au chocolat. Il sait que pour en fabriquer 6, cela lui coûte 5,40€. Combien ça lui coûterait s'il en fabriquait 2, 9, 12, 19 ?

L'enseignant répond aux questions des élèves, et passe dans les rangs pour observer les différentes procédures des élèves.

Les élèves sont par groupe de 2, ils tâtonnent pour trouver la solution.

2. Mise en commun

collectif | 15 min. | mise en commun / institutionnalisation

Le PE demande aux élèves de venir exposer leur procédure.

Puis, questionne si certains points ne sont pas assez explicités.

Un par un, les groupes viennent au tableau expliquer leur procédure. Les autres élèves ont la possibilité d'interroger les élèves du tableau afin de clarifier ce qui est dit.

Une fois la situation dénouée, les élèves sont remis en activité pour mettre en application ce qu'ils viennent de comprendre.

3. Seconde situation

binômes | 15 min. | recherche

Deuxième situation problème : 

Réécrire une recette pour un nombre de personnes différent. Présenter ses résultats sous la forme d'un tableau de proportionnalité.

Voici une recette de mousse au chocolat, elle donne les quantités pour réaliser 4 coupes de mousse. J'aimerai faire cette recette chez moi, sauf que je n'arrive pas à calculer pour 10 et 12  personnes. Pourriez-vous m'aider ?

L'enseignant répond aux questions des élèves, et passe dans les rangs pour observer les différentes procédures des élèves.

Distribution du tableau de proportionnalité attendu et demander de le remplir.

4. Mise en commun / Institutionnalisation

collectif | 15 min. | mise en commun / institutionnalisation

Le PE demande aux élèves de venir exposer leur procédure.

Puis, questionne si certains points ne sont pas assez explicités.

Un par un, les groupes viennent au tableau expliquer leur procédure. Les autres élèves ont la possibilité d'interroger les élèves du tableau afin de clarifier ce qui est dit.

Evaluation : 

- Validation des stratégies utilisées.

- Présentation du tableau.

  • Les élèves lisent, comprennent puis collent la trace écrite distribuée.
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Séance 4 - 5 - 6

Dernière mise à jour le 22 mai 2017
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Utiliser différentes stratégies pour reconnaitre et résoudre des problèmes de proportionnalité.
Durée
120 minutes (4 phases)

1. Exercices d'entrainement

individuel | 40 min. | recherche

Séance 4 : 

Problème de proportionnalité divers (procédures de résolution variées) permettant aux élèves de s'approprier les procédures de résolution.

Problème 1 : 

Le responsable de la cantine commande 10 pains pour 40 élèves. Combien doit-il commander de pains pour 200 élèves ?

Nombre de painsNombre d'élèves
1040
(7)200

Problème 2 :

Stéphane achète 8 tartelettes aux fraises. Il paye 14 €. Combien coûtent 9 tartelettes aux fraises ?

Problème 3 : 

Pour une séance de peinture il faut 5 grandes feuilles de papier à dessin pour un groupe de 4 élèves. La classe compte 28 élèves. Combien l'enseignante doit-elle prévoir de feuilles de papier à dessin ?

 

Evaluation au bout de la séance 6 :  

En séance 6, évaluation sommative (étape 1) (résolution individuelle) afin de s'assurer que des stratégies de résolution sont acquises.

2. Mise en commun

collectif | 20 min. | mise en commun / institutionnalisation

 Présentation des diverses réponses aux différents problèmes.

Ils interagissent en interrogeant les élèves présentant leur procédure afin de préciser certains points.

Je précise selon les réponses des élèves au tableau afin de compléter leurs réponses.

3. Exercices d'entrainement

individuel | 40 min. | recherche

Séance 5 - 6 : 

Réalisation d'exercices manuel "à portée de maths"

4. Mise en commun

collectif | 20 min. | mise en commun / institutionnalisation

Présentation des diverses réponses aux différents problèmes.

Ils interagissent en interrogeant les élèves présentant leur procédure afin de préciser certains points.

Je précise selon les réponses des élèves au tableau afin de compléter leurs réponses.

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Séance 7

Dernière mise à jour le 22 mai 2017
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Résoudre un problème de proportionnalité impliquant l'utilisation des pourcentages.
Durée
45 minutes (3 phases)
Remarques
Variables pour différenciation :
taux de réduction simples (50%, 25%, 75%).

1. Présentation de la tâche aux élèves

collectif | 10 min. | découverte

Un commerçant propose 25% de remise sur tout son magasin. Indique le montant de la réduction, puis les prix des articles après déduction de la remise.

Présentation du tableau de l'exercice.

 Montant de la remiseNouveau prix
pullover à capuche 80€  
Blouson 120€  
Jean 60€  
Pantalon 44€  

Questionnement des élèves.

2. Réalisation de la tâche

binômes | 25 min. | recherche

Je circule dans les rangs afin de vérifier que tous aient une idée de la démarche à suivre. Le cheminement peut être long puisqu'ils ne connaissent pas encore les pourcentages.

Mise à la tâche, ils tâtonnent vers diverses solutions. 

Les erreurs peuvent faire l'erreur de trouver un prix plus important que le prix de départ.

3. Mise en commun

collectif | 10 min. | mise en commun / institutionnalisation

Les élèves viennent proposer leurs procédures au tableau en expliquant leur cheminement.

J'aiguille les élèves s'ils semblent en difficulté face au groupe classe.

 

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Séance 8

Dernière mise à jour le 22 mai 2017
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Utiliser différentes stratégies pour résoudre un problème de proportionnalité impliquant des pourcentages.
Faire un lien avec des fractions simples (50%=1/2; 25%=1/4; 75%=3/4...)
Durée
55 minutes (1 phase)
Matériel
Manuel à portée de maths
cahier du jour

1. Exercices d'entrainement

individuel | 55 min. | recherche

1. Résolution de problèmes : 

Problèmes de proportionnalité impliquant des pourcentages, permettant aux élèves de s'approprier les procédures de résolution.

→ Exercices dans manuel "à portée de maths"

2. Correction des exercices / mise en commun.

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Séance 9

Dernière mise à jour le 22 mai 2017
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Utiliser différentes stratégies pour résoudre un problème de proportionnalité relevant de la compréhension des échelles.
Durée
55 minutes (1 phase)
Matériel
Manuel à portée de maths
Cahier du jour
Remarques
Différenciation :
Selon les problèmes donnés, on peut faciliter ou complexifier en donnant des échelles avec un rapport différent (1cm = 50 cm).

1. Exercices d'entrainement

individuel | 55 min. | entraînement

1. Résolution de problèmes : 

Problèmes de proportionnalité impliquant l'utilisation d'une échelle donnée (exemple, réaliser un plan de la classe avec son mobilier ou de la cour...). Après avoir donné l'échelle (ex : 1 cm sur le plan = 10 cm en réalité).

  1. Sur un plan à l'échelle, une longueur réelle de 6 m est représentée par une longueur de 9 cm. Par quelle longueur sur le plan est représentée une longueur réelle de 4,8 m ?
  2. Un randonneur prépare son itinéraire sur une carte à l'échelle 1/25 000. Il mesure pour le 1er jour 35 cm et 43 cm pour le 2ème jour. Quelle distance réelle va-t-il parcourir pour sa randonnée ?

2. Mise en commun

Les élèves exposent leurs résultats.

3. Institutionnalisation

Distribution trace écrite + lecture et compréhension des élèves.

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Séance 10

Dernière mise à jour le 22 mai 2017
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Utiliser différentes stratégies pour résoudre un problème de proportionnalité impliquant un calcul de vitesse moyenne.
Durée
55 minutes (1 phase)

1. Exercices d'entrainement

individuel | 55 min. | entraînement

1. Résolution de problèmes : 

Problèmes de proportionnalité dans lequel les élèves devront calculer une vitesse en km/h en se basant sur une distance parcourue en un certain nombre de minute. Liaison avec l'EPS : course longue : donner une distance à parcourir, chronométrer, puis en retour classe demander de calculer la vitesse en km/h.

  1. Une bicyclette roule à la vitesse moyenne de 18 km à l'heure. Calcule combien de kilomètres il fera dans les cas suivants : 
Durée1h30 min3h15 min
Distance parcourue    
  1. Un escargot parcourt 4 m en 10 min. Sa vitesse est toujours la même.
  • Quelle distance va-t-il parcourir en 5 min ; en 15 min ; en 45 min ?
  • Quelle est sa vitesse moyenne exprimée en mètres par heure ?

2. Mise en commun

3. Institutionnalisation 

Distribution trace écrite + lecture des élèves et compréhension.

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Séance de réinvestissement

Dernière mise à jour le 22 mai 2017
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Etre capable d'utiliser la règle de trois dans des situations concrètes.
Durée
50 minutes (3 phases)
Matériel
Liste de livres

1. Enrolement

collectif | 7 min. | découverte

Présentation aux élèves de la tâche à effectuer : 

Grâce à la vente des livres du festival, chaque classe à la chance de pouvoir acheter des livres. Nous avons obtenu 53,25€. L'idée est que, par groupe de 2, vous allez vous mettre d'accord pour choisir une sélection de livres pour les futurs CM2. Sachez que sur chaque livre vous avez une remise de 9% sur le prix. Donc attention il va falloir modifier les prix indiqués.

2. Mise en activité

collectif | 25 min. | recherche

Distribution aux élèves de la liste des livres + mise en activité.

 

Puis, l'enseignant circule dans les rangs afin d'observer les différents essais des élèves, et les guider si vraiment ils ne comprennent pas la tâche.

Les élèves se mettent par groupe de 2, ils débutent leurs calculs.

 

Les élèves ont déjà travaillé auparavant sur la notion de règle de trois, cette séance permettra un réinvestissement de cela dans une situation concrète qui les concerne davantage.

 

3. Mise en commun

collectif | 18 min. | mise en commun / institutionnalisation

Demande aux élèves de venir exposer leurs procédures.

Les élèves viennent par groupe expliquer leurs procédures, les autres questionnent afin d'approfondir chacune des méthodes.