Les Fractions

Explication d'un verre doseur.

Qu'est-ce qu'un verre doseur?

• graduation régulière
• écarts égaux
• distances égales entre les repères.

Recensement de toutes les réponses qui sont reportées sur le verre dessiné au tableau.

Élimination collective des réponses dont on est sûr qu'elles sont fausses.

Explication des procédures utilisées pour trouver les réponses:

• pliage d'une bande
• mesure et calcul

Remarques:

Une procédure reconnue valide et utilisée correctement doit permettre de valider les réponses apportées.

Place les nombres 8, 6, 10 sur ta ligne pour qu'elle soit graduée régulièrement.

place ensuite 1, 3, 9. Place enfin 1/2 et 3/2.

Il faudra expliquer comment tu as fait pour trouver la place de chacun de ces nombres.

Remarques:

Pour placer ces nombres, vous pouvez utiliser les moyens que vous voulez. Vous pouvez par exemple, utiliser des bandes de papier découpées ou d'autres moyens.

Est-ce que quelqu'un peut me dire des fractions avec lesquelles nous avons travaillé:

1/2; 1/3; 1/4;

Maintenant nous allons travailler avec de nouvelles fractions.

Recensement des arguments corrects pour justifier les réponses.

1. 1/10 - c'est 1/5 partagé par deux donc avec 4/5 on peut faire 8/10
2. 1/100  c'est 1/10 partagé en 10 donc avec 4/10 on peut faire 40/100
3. 50 c'est la moitié de 100, donc avec 50/100 c'est 1/2.

Si les arguments avancés ne sont pas pertinents, on laisse en suspens.

Remarque:

Cette phase permet aux enfants de réinvestir ce qu'ils savent déjà: aire et longueur.

1. Dans 1/10 il y a 10 centièmes -- 10x1/100 ou 10/100
2. Dans 4/10 il y a 40 centièmes - - 40x1/100 ou 40/100
3. Dans 50/100 il y a 5 fois 10 centièmes -- 5x10/100

Si besoin, on peut tracer un nouveau segment unité très long au tableau en le partageant en 10 puis demander comment le partager en 100 pour faire apparaître les centièmes.

Remarque:

Les segments dont la mesure est donnée en 1/5 ou en 1/10 peuvent être facilement réalisés par partage de l'unité en 5 ou 10.

Pour les segments dont la mesure est en 1/100, le prtage n'est pas possible. Il faut donc raisonner à partir d'un schéma représentant la bande unité partagée en 10 parts égales, puis partager 1/10 en 10 parts égales.

Trace écrite au tableau à la fin de la mise en commun:

en partageant la bande unité en 10 parts égales:

1/10+1/10+1/10+1/10+1/10+1/10+1/10+1/10+1/10+1/10 = 10 X 1/10 = 10/10 = 1

en partageant 1/10 en 10 parts égales:

1/100+1/100+1/100+1/100+1/100+1/100+1/100+1/100+1/100+1/100 = 10 X 1/100 = 1/10

100/100 = 100 X 1/100 = 1

Distribuer les bandes graduées à chaque groupe de 2.

Remarque leur faire comprendre que les 2 bandes sont des graduations différentes. La première graduée en dixièmes et la deuxième graduée en centièmes.

Chaque fraction est exploitée l'une après l'autre:

1. recensement des positions attribuées à chaque fraction
2. explication des stratégies utilisées.

35/10: pour faire 1 il faut 10 dixièmes; dans 35 dixièmes il y a 3 fois 10 dixièmes et 5 dixièmes -- c'est donc 3 plus 5 dixièmes.

407/100: le fait que 10 centièmes c'est 1 dixième; on aboutit ainsi à la décomposition. 407/100 = 400/100 + 7/100 = 4x100/100 + 7/100 donc 407/100 = 4 + 7/100.

La fraction 407/100 peut être placée sur la deuxième bande graduée au 7ème repère après 40/10.

Rappel de comment placer des fractions sur une ligne graduée.

Tracer une ligne graduée de 0 à 4 partagée en quarts au tableau. Demander à un élève de venir placer 3/4.

Lui demander comment il fait pour placer cette fraction.

recommencer l'opération avec 1/4.

Recenser les réponses et les reporter sur les lignes graduées afficher au tableau.

Les positionnements jugés erronés par certains sont débattus: explication des désaccords, justification par les auteurs et éventuellement reconnaissance des erreurs.

méthodes recensés (justes):

1. décompte des quarts un par un, à partir de 0, en complétant la ligne graduée sur d'autres feuilles
2. prise en compte que 10=40/4 puis on avance de quart en quart jusque 47/4
3. recherche du nombre d'unités (ou du nombre de fois où on trouve quatre quarts) dans 47/4

Aucune méthode n'est privilégiée à ce moment du travail. Lorsque le placement correct fait l'objet d'un accord, on peut écrire 47/4=11+3/4 qui explicite le fait que 47/4 soit situé 3/4 après 11.

Écrire une méthode qui permet de placer rapidement une fraction en face du bon repère.

Vous devez écrire un procédé, une méthode qui permet de placer rapidement une fraction sur l'une de ces lignes graduées. imaginez que vous devez expliquer à un élève qui n'a pas fait ce travail comment il doit s'y prendre pour placer une fraction.

méthodes:

Pour 47/4: 

4 quarts correspondent à une unité: 47 = 4x11+3, dans 47/4 il y a donc 11 unités et 3/4.

Présentation de la demi-droite au tableau - point O repéré par le 0 et la point A repéré par le 2.

Expliquer que ces nombres ont été placés à partir d'une graduation de la demi-droite réalisée grâce à une bande unité.

Chaque élève doit trouver laquelle des 3 bandes unités a permis de graduer la demi-droite et ainsi repérer le point A par le nombre 2.

Remarque:

Cette tâche doit permettre aux élèves de revenir sur la signification de la graduation d'une droite.

Rappel des termes graduation et sous-graduation si nécessaire.

Insister sur le fait que c'esst la longueur totale de la bande qui est utilisée comme unité.

Cette étape s'effectue par émission-réception. Chaque équipe de 4 élèves, composées de 2 groupes de 2.

Chaque groupe doit indiquer à l'autre groupe de son équipe où se situe le point B ou le point C pour que celle-ci puisse le placer sur la demi-droite.

Il faut utiliser un message ne contenant que des nombres (sans aucun mot).

Phase d'émission: un groupe de chaque équipe reçoit la demi-drotie comportant le point B, l'autre reçoit la demi-droite avec le point C. Chaque groupe complète le message. Il ne dispose que de la bande N°3.

Phase de réception: L'échange est organisé par l'enseignant qui contrôle le contenu des messages: s'il y a non respect des consignes (mots) le message n'est pas accepté.

Le repérage d'un point par un nombre décimal est institutionnalisé en insistant sur le fait que l'utilisation des fractions décimales provient du fractionnement de l'unité en 10 parties égales, ce qui fait apparaître des sous-graduations.

Sur les demis-droites, vous devez indiquer les nombres repérant les points A,B,C.

les élèves doivent repérer les points A,B,C sur la demi-drotie tracée d'origine O et où la graduation 1 est indiquée ainsi que les sous-graduations décimales. Les graduations entières n'apparaissent pas précisément. Pour repérer les nombres entiers autres que 1, les élèves doivent considérer l'unité comme 10 dixièmes.

Proposition possible: Chercher uniquement le nombre repérant le point A dans un premier temps.

Placer les points dont les positions sont données par un nombre écrit sous forme de fraction.

Sur la demi-droite placer le point D repéré par le nombre 1+6/10; le point E repéré par le nombre 2+3/10; le point F par le nombre 5/10.