L'addition et la soustraction jusqu'à 20 avec la méthode de Singapour de La librairie des Écoles

Projeter la page 79 du fichier A au tableau et demander aux élèves d’ouvrir leur fichier à la même page. Accorder du temps pour identifier le lieu et les objets à vendre, puis pour compter le nombre de jouets présents sur les différentes étagères. Demander à des élèves de lire les quatre phylactères à voix haute. Une fois qu’ils ont identifié différents nombres, par exemple 15 autocollants au plafond, 10 jouets au-dessus de l’étagère ou 10 jours sur le mur de droite, demander de trouver des idées de ce qu’ils peuvent faire avec ces nombres. Il est probable qu’ils suggèrent d’« additionner » ou de « soustraire les nombres ». Revoir les différents sens de l’addition et de la soustraction abordés aux unités 4 et 5. Faire la liste de ces significations au tableau. Elles aideront les élèves à inventer des problèmes additifs et soustractifs, chose qu’ils n’ont faite qu’avec des nombres à un chiffre jusqu’à présent.

Sélectionner quelques problèmes et les attribuer aux élèves. Demander d’utiliser du matériel pédagogique pour représenter et résoudre ces problèmes. Noter les stratégies qu’ils utilisent pour référence ultérieure. Conclure en disant que même si les nombres utilisés sont plus grands qu’aux unités 4 et 5, le sens des opérations reste le même.

Revisiter la bande numérique humaine abordée à la séance 28. Nommer deux meneurs de jeu, A et B, et donner une boîte chacun : la première contient des pinces à linge sur lesquelles sont inscrits les nombres de 8 à 17 ; la seconde contient des pinces à linge portant les nombres 0, 1, 2 et 3. On inclut zéro afin de rappeler régulièrement aux élèves qu’ajouter zéro à un nombre, quel qu’il soit, ne modifie pas ce dernier, une idée importante sur laquelle repose la notion algébrique de l’élément neutre de l’addition (x + 0 = 0 + x = x). Demander à un élève de se porter volontaire. Les meneurs A et B piochent chacun une pince à linge dans leur boîte. Imaginons qu’ils piochent 15 et 3. Le volontaire doit représenter l’addition des deux nombres en se déplaçant sur la bande numérique. Demander quelle stratégie il va utiliser, puis laissez-le faire. Quelle que soit la stratégie choisie (la plus efficace ou la plus lente), demander si quelqu’un d’autre peut représenter la même addition d’une autre manière. Il est important que les élèves observent l’action de compter à partir de 3 et de 15 et se rendent compte (ou se souviennent) que :

• il est possible de compter à partir de l’un des deux nombres, peu importe lequel, parce que 3 + 15 = 15 + 3 (c’est la propriété commutative de l’addition) ;
• il est plus efficace de compter à partir du plus grand nombre car cela prend moins de temps.

Répéter l’activité avec d’autres volontaires et meneurs de jeu.

Lire la question d’Idris à voix haute et donner du temps aux élèves pour réfléchir, former des binômes, puis partager leurs réflexions. Faire continuer individuellement, avec l’aide de leur voisin si nécessaire. Ils doivent terminer le bas de la page 80 du fichier A et poursuivre avec l’activité 1 des fiches photocopiables. L’exercice 1 est simple. L’exercice 2 est plus complexe : il s’agit de trouver le nombre initial ou le nombre qui est ajouté. Modéliser le fait que si un déplacement vers l’avant permet de résoudre 10 + 3 = ?, un déplacement vers l’arrière permet quant à lui de résoudre ? + 3 = 13. Les élèves font l’expérience de l’addition et de la soustraction comme opérations réciproques.

Demander à un élève de rappeler à la classe ce qu’est une boîte de 10. L’essentiel est qu’ils sachent qu’une boîte complète contient 10 pastilles. Projeter ensuite une par une les boîtes de 10 de l’annexe « Différentes boîtes de 10 ». Afficher chaque boîte pendant quelques secondes avant de passer à la suivante. Inviter les élèves à dire combien de points ils pensent avoir vus. Pour les boîtes les moins évidentes, afin d’éviter que les élèves ne crient des nombres différents tous en même temps, faire écrire leur nombre sur leur ardoise. Insister sur le fait qu’ils ne doivent pas donner une estimation mais trouver un moyen de calculer mentalement le nombre total de points : ils doivent visualiser des relations spatiales, reconnaître des motifs familiers ou utiliser leurs connaissances croissantes des familles de nombres plutôt que de compter l’ensemble des points. Lorsque les élèves trouvent des réponses contradictoires, demander à chacun de justifier son résultat en partageant sa stratégie (par exemple : « J’ai vu 3 sur une rangée et 4 sur l’autre ; je sais que 3 et 4 font 7 »). Montrer de nouveau l’image si nécessaire. Après avoir vu les huit boîtes de 10, dites le nombre de points que contient une boîte de 10 virtuelle. Les élèves la visualisent mentalement et écrivent cette fois le nombre de cases vides que contient cette boîte imaginaire. Cet exercice permet d’évaluer les connaissances croissantes des élèves sur les familles de 10, ou les compléments de 10, sur lesquels porte la séance 62.

Étudier attentivement la page 81 du fichier A. Si certains élèves ont mentionné la stratégie des groupes de 10, dire : « L’idée d’Adèle est la même que celle de Lucie », ou « Maël a fait exactement la même chose que Karim ». Dans chacun des cas, demander aux élèves de former des groupes de 10 avec leurs jetons. Demander pourquoi les deux approches donnent 13 (le tout n’est pas affecté par la façon dont on le décompose).

Débuter la séance par un échauffement pour revoir une idée importante abordée à l’unité 7 : la décomposition des nombres de 11 à 19 en une dizaine et des unités. Dans la première partie de l’échauffement, dire un nombre entre 11 et 19 (17 par exemple). L’élève interrogé doit répondre « dix et sept ». Au bout de 5 à 10 nombres, passer à la deuxième partie de l’échauffement. Les élèves dessinent un grand schéma de famille de nombres sur leur ardoise, en plaçant le tout en haut. Demander d’intituler les trois cercles « Tout », « Partie » et « Partie ». Ensuite, expliquer que vous allez dire un nombre, mais qu’ils devront cette fois écrire le nombre cité dans le cercle du haut et les deux parties, 10 et un autre nombre, dans les cercles du bas. Il s’agit de la version écrite de ce qu’ils viennent de faire à l’oral. Travailler sur quelques nombres. Une fois que tout le monde a terminé d’écrire, les élèves montrent leur ardoise. Après chaque nombre, ils l’effacent et recommencent. Cet exercice peut sembler sans intérêt, mais la structure du système décimal constitue le fondement de tous les algorithmes de calcul. La répétition est une excellente chose. Aider les élèves à se rendre compte qu’ils sont en train d’appliquer le concept des familles de nombres à des cas où 10 est désormais l’une des parties et non plus le tout.

Faire travailler les élèves en binômes sur les exercices 1 à 3 page 84 du fichier A. Distribuer à chaque binôme l’annexe « Boîte de 10 » ainsi que 30 cubes (20 d’une couleur et 10 d’une autre). Faire modéliser les additions avec des cubes disposés sur les boîtes de 10. Les élèves qui ont fini en avance peuvent continuer à travailler individuellement sur les exercices similaires de l’activité 3 pages 118 et 119 des fiches photocopiables.

Revoir la soustraction avec les nombres à un chiffre (unité 5). Donner un exemple comme « 5 moins 3 ». Demander aux élèves d’écrire la soustraction et la solution qu’ils obtiennent sur leur ardoise en utilisant la représentation qu’ils préfèrent. Dans la mise en commun des méthodes, réviser la soustraction des manières suivantes :• en dessinant 5 objets et en en barrant 3 ;

• en montrant 5 objets et en en retirant (enlevant) 3 ;
• en montrant 5 objets, 3 d’une couleur et 2 d’une autre ;
• en comptant à rebours de 3 nombres à partir de 5 (à l’oral) ;
• en faisant 3 pas en arrière sur la bande numérique à partir de 5 ;
• en utilisant la famille de nombres 3 / 2 / 5.
Rappeler le sens premier de la soustraction que les élèves ont appris, à savoir : retrancher, retirer, ou enlever. Il sera utilisé dans ce qui suit.

Pour leur permettre de s’entraîner davantage, donner aux élèves lesexercices 1 et 2 page 87 du fichier A. Ceux qui ont fini en avance peuvent poursuivre avec l’exercice 1 de l’activité 5 page 122 des fiches photocopiables.

Écrire deux soustractions au tableau « 15 – 3 » et « 15 – 7 » et demander aux élèves : « Est-ce que quelqu’un peut expliquer la différence entre les deux ? », « Laquelle des deux est plus facile à calculer et pourquoi ? », « Pouvez-vous calculer l’une ou l’autre de tête ? » Si les élèves ont bien compris la séance 65, ils sauront qu’il faut soustraire 3 de 5 dans la première soustraction, puis ajouter 2 à 10 pour obtenir 12. Lorsque vous discuterez de la seconde soustraction, les suggestions des élèves devraient être variées :

• compter 7 nombres à rebours à partir de 15 (à l’oral) ;
• reculer de 7 cases sur la bande numérique en partant de 15 ;
• décomposer 15 en 10 et 5, puis soustraire 7 en deux étapes : soustraire 5 du chiffre des unités de 15 (il reste 10), puis soustraire 2 de 10 (il reste 8) ;
• décomposer 15 en 10 et 5. Utiliser la famille de nombres 3 / 7 / 10 pour soustraire 7 de 10 (on obtient 3), puis combiner le 3 et le 5 pour obtenir 8.

Toutes les méthodes fonctionnent. Expliquer que le dernier point est l’objet de la séance d’aujourd’hui.

Faire travailler les élèves sur les exercices 1 à 3 page 89 du fichier A, en binômes ou individuellement. S'assurer qu’ils disposent du matériel nécessaire pour modéliser les problèmes (une boîte de 10 et 20 cubes ou jetons). Les élèves qui ont fini en avance peuvent continuer avec les exercices de l’activité 6 pages 124 et 125 des fiches photocopiables.

Les égalités apparentées dérivées des familles de nombres et leur disposition à l’intérieur d’une maison ont été abordées aux séances 44 et 45. Les élèves vont revisiter ce concept en utilisant cette fois un tout à deux chiffres compris entre 11 et 19. Pour revoir les égalités apparentées composées de nombres à un chiffre, projeter ou dessiner au tableau le domino et écrire « Partie » sous chaque moitié. Demander aux élèves : « Quels sont les trois nombres qui vont avec ce domino ? » (3, 6 et 9) Écrivez les nombres au tableau. Continuer ainsi : « Quelles sont les deux phrases mathématiques qui permettent de trouver le nombre total de points lorsqu’on connaît les parties, 3 et 6 ? » (3 + 6 = 9 et 6 + 3 = 9) Écrire ces deux égalités et demandez aux élèves de les commenter. Ils doivent dire que les deux égalités :
• sont une addition des deux mêmes nombres, mais que ces derniers y apparaissent dans deux sens différents ;
• donnent le même tout (total).
Écrire « tout » au-dessus du domino. Pour introduire les égalités soustractives apparentées, cacher la partie gauche du domino et demander à la classe : « Quelle est la phrase mathématique qui permet de trouver le nombre de points que contient la partie que je cache? » (9 – 6 = 3) Faire la même chose pour l’autre partie (9 – 3 = 6) et écrivez les deux égalités à côté des autres de la manière suivante :
3+6=9 9–6=3
6+3=9 9–3=6
Dessiner une maison autour de ces quatre égalités en expliquant que,
comme les membres d’une famille, elles sont apparentées et vivent donc dans une maison.

Faire remarquer aux élèves que les deux soustractions commencent par le plus grand nombre, et que l’ordre a donc de l’importance dans ce cas (9 – 6 n’a pas la même valeur que 6 – 9). Proposer à la classe d’utiliser la notation simple 3 / 6 / 9 pour exprimer les familles de nombres.

Pour cette séance, de nombreuses possibilités d’entraînement sont disponibles dans l’activité 7 pages 126 et 127 des fiches photocopiables. Les attribuer aux élèves en fonction du niveau de chacun.

Les problèmes sont des tâches mathématiques qui ont le potentiel de poser des défis intellectuels visant à améliorer la compréhension et le développement mathématiques des élèves. La résolution de problèmes n’est pas seulement un objectif de l’apprentissage des mathématiques : c’est aussi un moyen essentiel de faire des mathématiques. Ce ne doit pas être une activité sporadique mais une partie intégrante de la pratique quotidienne des mathématiques. Par le biais de la résolution de problèmes, les élèves acquièrent de nouvelles connaissances, élargissent leur répertoire de stratégies et développent des compétences métacognitives vis-à-vis de leurs propres processus de réflexion. Commencer par projeter le problème 1 page 92 du fichier A au tableau ou par montrer un modèle ou une grande image de la maison de Maël. Faire la liste des quatre étapes de la résolution de problèmes (abordées à la séance 33) et modéliser chacune d’entre elles.

• Lire et comprendre le problème : « Quelles sont les deux parties ? » (Les réponses vont varier : jaune et rouge, ou la base et le toit.) Décomposez ces parties en « sous-parties » plus petites pour aider les élèves à compter (ex. : pour compter les blocs rouges, on pourrait faire 3 + 5 = 8, puis compter 4 de plus).

• Faire un plan : « Doit-on additionner ou soustraire ? », « Comment décide-t-on ? »
• Mettre le plan à exécution : « Comment trouve-t-on chaque partie ? », « Comment additionne-t-on les deux parties ? » (Les réponses vont varier : compter à partir de l’un des nombres, utiliser des faits connus...)

• Vérifier : « 20 est-il un résultat raisonnable ? » (Oui, c’est plus grand que les deux parties 8 et 12.) « Aurait-on pu résoudre le problème d’une autre façon ? »

• Accepter les deux phrases mathématiques suivantes: 12 + 8 = 20 et 8 + 12 = 20
Ensuite, répétez le même processus avec la maison d’Idris (problème 2) en posant des questions aux élèves pour les orienter.

Comparer les deux maisons : « Comment sait-on qu’il y a 20 blocs en tout sans compter ? » (Les maisons ont une structure identique). Pour finir, faire remarquer qu’il y avait deux façons de compléter la première égalité mais une seule façon de compléter la seconde.

Conclure : « Pour la soustraction, 20 – 4 n’a pas la même valeur que 4 – 20. »

Le problème 1 de la page 95 du fichier A est difficile : il vaut mieux le faire collectivement à un moment où les élèves ont l’esprit frais. Il s’agit d’un problème de type « changement d’état », ou « avant- après » : Maël avait un certain nombre de wagons, il en a donné à Adèle mais il lui en reste quelques-uns. Les problèmes de type changement d’état sont les plus faciles à conceptualiser pour les élèves lorsqu’il s’agit de trouver le nombre final. (Exemple : « J’avais 7 sucettes et j’en ai donné 4. Combien m’en reste-t-il ? ») Cependant, le problème de Maël est déconcertant dans la mesure où c’est le nombre initial qu’il faut trouver. C’est ce qui en fait « un problème », c’est-à-dire une tâche pour laquelle on ignore quelle méthode appliquer et qui nécessite par conséquent une réflexion de la part de la personne qui cherche à la résoudre.

Discuter de la situation et identifier la question. Évaluer la compréhension qu’ont les élèves du problème (distinguer la locomotive des wagons) :
• Que représente le 5 ? ;

• Que représente le 8 ? ;
• Avait-il plus ou moins que 8 wagons au début ?
Émettre des hypothèses afin d’évaluer la conception qu’ont les élèves des nombres et des opérations : « Et si Maël avait eu 10 wagons au début, combien en aurait-il maintenant ? » (5). En utilisant ce même exemple hypothétique, donnez des indices concernant la stratégie à suivre : « Comment utiliseriez-vous les 5 wagons qu’il a donnés et les 5 qu’il lui reste pour trouver le nombre initial ? » (5 + 5) Les élèves devraient conclure qu’ils cherchent un résultat supérieur à 10 parce que Maël a encore 8 wagons. Faire un schéma pour les aider à conceptualiser le problème.
Demander à des volontaires d’expliquer comment ils pensent pouvoir trouver le résultat.

Les élèves peuvent s’entraîner avec les problèmes assez simples de l’activité 8 page 130 des fiches photocopiables. Le problème 1 est le plus simple. Le problème 2 est plus délicat : l’image pourrait induire les élèves en erreur. Le problème 3 page 131 repose sur une situation « parties-tout » qui peut être envisagée comme une addition ou comme une soustraction, selon qu’on se concentre sur le tout ou sur les parties.