L'addition et la soustraction jusqu'à 100 avec la méthode de Singapour de La Librairie des Écoles

Afin de renforcer la relation inverse de l’addition et de la soustraction, ces deux notions sont volontairement abordées simultanément.
Présenter le signe « + » au tableau et demander aux élèves d’expliquer ce que signifie ce symbole. Les élèves évoquent les souvenirs qu’ils en ont : dans quelles situations est utilisé ce signe, comment le lit-on, ce qu’il signifie, avec quel autre signe il est utilisé (le signe =)...

Procéder de même avec le signe « – ».

Demander aux élèves de raconter des histoires de nombres à partir de chacun des deux signes. Illustrer au tableau (ou faites illustrer par un élève) chaque situation en la traduisant par une addition ou une soustraction.

Demander aux élèves d’observer et de décrire la page 57 du fichier B. « Où sont Idris et Alice ? », « Que font-ils ? », « Qui les accompagnent ? » À ce stade de l’année, les élèves doivent pouvoir lire le mot « kermesse » : « Que signifie-t-il ? »

Prolonger la discussion en évo- quant les activités des kermesses, les jeux, les buts poursuivis (utiliser l’argent récolté pour une cause).

Faire lire les phylactères : « Que dit Idris ? », « Comment sait-il qu’il y a 28 gaufres en tout ? », « Quelle opération a-t-il faite ? » (une addition), « Que demande son père ? », « Pouvez-vous répondre à sa question ? », « Comment ? » (en faisant une soustraction).

Faire raconter d’autres histoires, notamment en jouant sur les différents types de tartes (20 aux pommes et 20 aux fraises).
« Pourquoi Idris et son père ont-ils besoin de connaître le nombre de tartes restantes, le nombre initial de tartes ? », « Que pourront-ils en déduire ? » (le nombre de tartes vendues)

Toutes les boules du boulier sont rangées vers la gauche.
Demandez aux élèves de représenter la quantité « 8 » en glissant une à une les billes de la première ligne de la gauche vers la droite. Précisez que vous allez ajouter une bille aux huit billes en faisant glisser une bille de plus de la gauche vers la droite : « Je vais ajouter une unité. Je vais mettre une unité en plus. Huit et un font neuf ! Huit plus un égale neuf ! »
Répétez cette procédure avec des nombres compris entre 10 et 98. Lorsque les élèves sont à l’aise avec l’ajout d’une unité pour tous les nombres inférieurs à 100, renouvelez la démarche en ajoutant 2, 3, 4 ou 5 unités.
Préciser aux élèves qu’il est possible, sans matériel, d’ajouter des unités en comptant à partir du plus grand nombre.
Par exemple, pour 25 + 3 : « vingt-six, vingt-sept, vingt-huit ».
Note : la séance 111 introduira des additions présentant le plus petit nombre en premier, mais pour l’instant, le nombre le plus élevé est toujours placé en premier.
Demander aux élèves s’ils peuvent proposer une autre stratégie pour calculer 25 + 3, en les incitant à expliquer leur raisonnement à voix haute. Il existe une seconde stratégie : « casser » le nombre vingt- cinq en dizaines et en unités.
25, c’est 2 dizaines et 5 unités, c’est 20 et 5.
Si on assemble d’abord les unités, on a 5 + 3 = 8.
On rajoute ensuite les dizaines : 20 + 8 = 28, la réponse est 28.

Illustrer chaque stratégie à l’aide du boulier.

L’exercice 1 de l’activité 1 page 210 des fiches photocopiables reprend la première stratégie, celle du surcomptage.

Laisser au tableau la représentation de la bande numérique. Il peut en outre être utile de suggérer aux élèves de dessiner le segment de bande numérique nécessaire à chaque exercice sur leur cahier, et même d’en fabriquer une qu’ils conserveront. L’exercice 2 reprend la deuxième stratégie, celle de la séparation en dizaines et unités.

Proposer aux élèves d’utiliser au choix le matériel de base 10 ou le boulier

Toutes les boules du boulier sont rangées vers la gauche.
Demander aux élèves de présenter la quantité « 38 » en glissant une à une les dizaines de billes et les unités.
« Combien y a-t-il d’unités en tout ? » (trente-huit)
« Combien y a-t-il de dizaines en tout ? » (trois)
« Combien y a-t-il d’unités ? » (huit)
Préciser que vous allez retirer une bille aux 38 billes :
« Où est-il préférable de la retirer ? Sur une dizaine ou bien sur la ligne des unités ? »
Discuter avec les élèves des avantages et des inconvénients de telle ou telle option : retirer une bille à une dizaine déjà constituée complique grandement le calcul des quantités restantes alors que retirer une bille aux unités le facilite.
Répéter la procédure avec des nombres compris entre 10 et 99.

Lorsque les élèves commenceront à être à l’aise avec le retrait d’une unité pour tous les nombres inférieurs à 100, renouveler la démarche en soustrayant 2, 3, 4 ou 5 unités.

Demander aux élèves s’ils peuvent proposer deux stratégies pour calculer 25 – 3 en les incitant à expliquer leur raisonnement à voix haute.

Préciser aux élèves qu’il est possible, sans matériel, de soustraire des unités en comptant à rebours à partir du plus grand nombre.

Il existe également une seconde stratégie : décomposer le nombre 25 en dizaines et en unités puis soustraire les unités.

Illustrer chaque stratégie à l’aide du boulier.

L’exercice 1 de l’activité 2 page 212 des fiches photocopiables reprend la première stratégie, celle du comptage à rebours.

Laisser au tableau la représentation de la bande numérique. Il peut en outre être utile de suggérer aux élèves de dessiner le segment de bande numérique nécessaire à chaque exercice sur leur cahier, et même d’en fabriquer une qu’ils conserveront.

L’exercice 2 reprend la deuxième stratégie, celle de la séparation en dizaines et unités. Proposer aux élèves d’utiliser, au choix, le matériel de base 10 ou le boulier.

Écrire au tableau : 32 + 10. Annoncer : « Nous allons nous aider duboulier pour trouver le résultat de cette addition. »
Sur le boulier, présenter « 32 » comme 3 dizaines (3 premières lignes de boules à droite) et 2 unités (4e ligne : 2 boules à droite). « Pour ajouter 10, il faut ajouter une dizaine complète. Ajouter la dizaine est facile (les élèves décriront l’action à réaliser) car, sur le boulier, chaque ligne représente une dizaine. Nous aurons donc : 3 dizaines + 1 dizaine = 4 dizaines. En ajoutant les 2 unités, le résultat sera 42. »

Rappeler aux élèves les deux stratégies des deux séances précédentes. « Celle que nous venons d’utiliser consiste à compter séparément les dizaines et les unités. Quelle autre stratégie pouvons-nous utiliser ? Nous pouvons compter de un en un, en partant du nombre le plus grand. Nous pouvons aussi compter de dix en dix. C’est donc une troisième stratégie ! »

Montrer une table de cent et comptez à voix haute : 32, 42, 52, en incitant la classe à continuer.
Renouvelez la procédure (avec le boulier) en ajoutant 20, 30, 40... Inviter les élèves à utiliser le boulier à leur tour pour trouver la réponse aux additions.

« Les trois stratégies donnent-elles le même résultat ? », « Laquelle préférez-vous ? », « Pourquoi ?»
Faire remarquer que la stratégie consistant à ajouter les unités une à une (ce que l’on fait en comptant à partir d’un des nombres) est trop longue et qu’il vaut donc mieux l’écarter.

Les exercices 1 et 2 de l’activité 3 pages 214 et 215 des fiches photocopiables peuvent être réalisés à l’aide du matériel de base 10 si besoin.

Remarquer que les parties c) et d) des exercices 1 et 2 peuvent être réalisées au choix mentalement ou en dessinant, dans l’espace blanc au-dessous, l’une ou l’autre des représentations.

Écrire au tableau : 46 – 10.

Annoncer : « Nous allons nous aider duboulier pour trouver le résultat de cette soustraction. »
Toutes les boules du boulier sont rangées vers la gauche.
Demander aux élèves de présenter la quantité « 46 » en glissant une à une les dizaines de billes et les unités.

« Combien y a-t-il d’unités en tout ? » (46), « Combien y a-t-il de dizaines en tout ? » (4), « Combien y a-t-il d’unités ? » (6)
Préciser que vous allez retirer dix billes aux 46 billes : « Dix, c’est une dizaine. Où retirer une dizaine ? », « Si on retire une dizaine à quatre dizaines, il reste trois dizaines. Trois dizaines, c’est trente. Trente et six unités, cela fait 36. »

Demander aux élèves de rappeler les trois stratégies de la séance précédente : compter de un en un, compter de dizaine en dizaine, séparer les dizaines et les unités. « La stratégie que nous venons d’utiliser consiste à compter séparément les dizaines et les unités. Quelle autre stratégie pouvons-nous utiliser ? Nous pouvons compter de un en un à rebours. Mais c’est long, et donc nous risquons de nous tromper ! Nous pouvons aussi compter de dix en dix à rebours. C’est donc une troisième stratégie ! »

Demander aux élèves comment compter de dix en dix à rebours. Montrer une table de cent et comptez à voix haute : 46, 36, 26... Renouvelez la procédure avec le boulier en retirant 40, 30, 20... Invitez les élèves à utiliser le boulier à leur tour pour trouver la réponse aux soustractions.

« Les trois stratégies donnent-elles le même résultat ? », « Laquelle préférez-vous ? », « Pourquoi ? »

Faire remarquer que la stratégie consistant à soustraire les unités une à une est trop longue et qu’il vaut donc mieux l’éviter.

Les exercices 1 et 2 de l’activité 4 pages 218 et 219 des fiches photocopiables pourront être réalisés à l’aide du matériel de base 10 si besoin.

Remarquer que les parties c) et d) peuvent être réalisées au choix mentalement ou en dessinant, dans l’espace blanc au-dessous, l’une ou l’autre des représentations.

Note : Dans les séances précédentes, nous avons additionné des unités (32 + 3) et des dizaines pleines (32 + 10). À présent, nous allons montrer aux élèves comment additionner en même temps dizaines et unités.

Écrire au tableau : 32 + 13.
Rappeler aux élèves les deux stratégies utilisées jusqu’à présent.

• Stratégie A : Compter à partir du plus grand nombre
Pour illustrer la première stratégie, afficher au tableau une bande numérique allant de 30 à 50. Prendre le temps de faire compter les élèves en pointant chaque nombre du doigt.        « Entre 32 et 13, quel est le nombre le plus grand ? » (32)
« Je compte donc à partir de 32. » Demander à un élève de venir au tableau désigner le nombre 32.
« Combien devons-nous ajouter ? » (13)
« Dans 13, combien y a-t-il de dizaines et d’unités ? » (1 dizaine et 3 unités) « Pour compter sur la bande numérique, je peux donc faire un grand pas de 10, puis un petit pas de 3. » (Montrez cette action sur la bande numérique.) « Mais je peux aussi faire d’abord le petit pas de 3, puis le grand pas de 10. »

Vérifier la compréhension des élèves en prenant d’autres exemples mais en vous limitant à l’ajout d’un nombre compris entre 11 et 19 et en veillant à ce que l’addition soit sans retenue.

• Stratégie B : Séparer en dizaines et en unités
Répartir les élèves en binômes et distribuer à chacun du matériel de base 10 (5 dizaines et 10 unités). « Nous allons représenter les deux nombres avec les cubes et les barres. Combien y a-t-il de dizaines et d’unités dans 32 ? » (Les élèves placent côte à côté 3 barres de dizaines et 2 unités séparées.) « Et dans 13 ? » (Les élèves placent côte à côte 1 dizaine et 3 unités.)

Tracer un tableau des dizaines et des unités, en vous inspirant par exemple de la disposition page 66 du fichier B. Fabriquer du  matériel de base 10 aimanté, coller les dizaines et les unités au tableau avant d’écrire les symboles.

« Combien de dizaines et d’unités font 32 ? » (3 dizaines et 2 unités). Écrivez 3 et 2 dans les colonnes respectives.
« Combien de dizaines et d’unités font 13 ? » (1 dizaine et 3 unités) Écrivez 1 et 3 dans les colonnes respectives.

« Pour additionner, assemblons d’abord les unités. Combien en avons- nous ? » (5) Valider au tableau en écrivant le chiffre 5 dans la colonne des unités. « Combien avons-nous de dizaines ? » (4), « Donc, combien avons- nous en tout ? » (4 dizaines et 5 unités, donc 45)

Note : Nous abordons maintenant l’addition dite communément « avec retenue » ; cependant, nous n’utiliserons pas le terme « retenue » qui fait référence à l’algorithme de l’addition posée en colonnes. Par cohérence avec l’approche concrète-imagée-abstraite, nous utiliserons l’expression « grouper différemment » pour expliciter l’action de grouper les unités en une dizaine.

Écrire au tableau : 27 + 5
Dire aux élèves que vous allez chercher combien font 27 + 5 à l’aide dumatériel de base 10.
« Combien y a-t-il de dizaines dans 27 ? » (2 dizaines) « Combien y a-t-il d’unités ? » (7 unités)
« Mêmes questions pour 5 ? » (0 dizaine et 5 unités)
Tout en posant les questions, afficher le matériel de base 10 au tableau, en disposant au fur et à mesure les dizaines et les unités. (Vous pouvez vous inspirer de la présentation page 68 du fichier B.)
Une fois toutes les unités disposées, demander : « Combien d’unités avons-nous en tout ? » Les élèves comptent 7 + 5 = 12. Or, dans 12, il y a plus que 10 unités. Rappeler que 10 unités, c’est 1 dizaine, donc qu’il est possible de grouper les unités pour former une dizaine : 12, c’est 1 dizaine et 2 unités.
Illustrer cette opération en prenant dix cubes isolés, et en les remplaçant explicitement par une barre des dizaines, que vous placez dans la colonne des dizaines. « Combien de dizaines avons-nous maintenant en tout ? » (3), « Et combien d’unités ? » (2), « Le résultat est donc 32. »
Demander aux élèves de se répartir en binômes avec du matériel de base 10, en distribuant à chaque binôme une addition différente : 31 + 9 ; 26 + 7 ; 18 + 4 ; etc. Mette en commun les réponses obtenues et discutez collectivement leur validité.

Reprendre le calcul du début de la séance : 27 + 5. « Nous allons faire le même calcul mais avec le boulier. Connaissez-vous le résultat ? » La classe peut se souvenir qu’il s’agit de 32. Dans ce cas, dire : « Nous connaissons la réponse, mais ce qui nous intéresse, c’est d’apprendre une nouvelle stratégie pour la trouver. » Le but ici est de donner aux élèves le goût de la méthode, plutôt que celui d’avoir la bonne réponse.

Ces derniers doivent s’habituer progressivement à utiliser les représentations concrètes et imagées pour vérifier leur réponse, et non plus pour la trouver. Les laisser proposer différentes représentations de l’addition 27 + 5 avec le boulier.

Note : D’autres représentations sont possibles, notamment en utilisant les cubes multidirectionnels, qui permettent de fixer la dizaine formée aux deux autres. L’objectif de toutes ces manipulations est de rendre concrète la formation de la dizaine aussi longtemps que nécessaire.

Note : À la séance précédente, les élèves ont additionné des unités (27 + 5) pour avoir une première expérience du passage à la dizaine. Nous allons maintenant additionner en même temps dizaines et unités.Écrivez au tableau : 35 + 28.

Dire aux élèves que vous allez calculer 35 et 28 à l’aide du matériel de base 10. Distribuer le matériel aux élèves répartis en binômes.
« Combien de dizaines y a-t-il dans 35 ? », « Et combien d’unités ? », « Combien de dizaines y a-t-il dans 28 ? », « Et combien d’unités ? », « Comme lors de la dernière séance, nous allons d’abord additionner les unités : combien avons-nous d’unités ? 5 + 8 = 13. 13, c’est plus grand que 10. Rappelez-vous que 10 unités forment une dizaine, donc 13 unités peuvent être "groupées différemment” en 1 dizaine et 3 unités. »

« Maintenant, nous allons additionner les dizaines, sans oublier celle que nous venons de former. Cela donne 3 + 2 + 1 = 6. Nous avons donc en tout 6 dizaines et 3 unités.Donc35+28=63.»

Demander aux élèves d’ouvrir leur fichier B à la page 68. Laisser étudier l’encadré « J’observe » et demander : « Quel est le lien avec ce que nous venons de faire ? » Demander aux élèves de lire les phylactères. Ils doivent restituer la première étape, dans laquelle les dizaines et les unités sont regroupées séparément, et la deuxième étape, dans laquelle les unités sont regroupées en une sixième dizaine. Faire remarquer que les dizaines sont en vert et les unités en bleu. En comparant avec la page précédente, faire remarquer que les colonnes des dizaines et des unités ne sont pas nommées, qu’elles n’ont pas de « titre ».

Note : La lecture du fichier est une étape importante car elle permet de passer de la manipulation des cubes – « étape concrète » – à la représentation sur papier – « étape imagée » – dans laquelle l’algorithme de l’addition posée est formalisé.

Distribuer les pages 224 et 225 de l’activité 6 des fiches photocopiables. Demander aux élèves, avant de procéder à la résolution des calculs, de prendre le temps de regarder tous les exercices. Qu’observent-ils ?
Les calculs sont rangés d’une certaine façon :

• ajouter des unités en page de gauche ;
• calculs avec des dizaines supplémentaires en page de droite.
Les élèves peuvent au choix utiliser le matériel de base 10, la bande numérique ou une feuille de papier vierge.
Note : Cette activité encourage les élèves à automatiser l’algorithme d’addition et à faire de moins en moins appel au matériel de base 10. Prévoir une plage de temps assez longue pour leur laisser le temps de s’approprier l’exercice.

Note : À la séance précédente, les élèves ont additionné des unités (27 + 5) pour avoir une première expérience du passage à la dizaine. Nous allons maintenant additionner en même temps dizaines et unités.Écrivez au tableau : 35 + 28.

Dire aux élèves que vous allez calculer 35 et 28 à l’aide du matériel de base 10. Distribuer le matériel aux élèves répartis en binômes.
« Combien de dizaines y a-t-il dans 35 ? », « Et combien d’unités ? », « Combien de dizaines y a-t-il dans 28 ? », « Et combien d’unités ? », « Comme lors de la dernière séance, nous allons d’abord additionner les unités : combien avons-nous d’unités ? 5 + 8 = 13. 13, c’est plus grand que 10. Rappelez-vous que 10 unités forment une dizaine, donc 13 unités peuvent être "groupées différemment” en 1 dizaine et 3 unités. »

« Maintenant, nous allons additionner les dizaines, sans oublier celle que nous venons de former. Cela donne 3 + 2 + 1 = 6. Nous avons donc en tout 6 dizaines et 3 unités.Donc35+28=63.»

Demander aux élèves d’ouvrir leur fichier B à la page 68. Laisser étudier l’encadré « J’observe » et demander : « Quel est le lien avec ce que nous venons de faire ? » Demander aux élèves de lire les phylactères. Ils doivent restituer la première étape, dans laquelle les dizaines et les unités sont regroupées séparément, et la deuxième étape, dans laquelle les unités sont regroupées en une sixième dizaine. Faire remarquer que les dizaines sont en vert et les unités en bleu. En comparant avec la page précédente, faire remarquer que les colonnes des dizaines et des unités ne sont pas nommées, qu’elles n’ont pas de « titre ».

Note : La lecture du fichier est une étape importante car elle permet de passer de la manipulation des cubes – « étape concrète » – à la représentation sur papier – « étape imagée » – dans laquelle l’algorithme de l’addition posée est formalisé.

Distribuer les pages 224 et 225 de l’activité 6 des fiches photocopiables. Demander aux élèves, avant de procéder à la résolution des calculs, de prendre le temps de regarder tous les exercices. Qu’observent-ils ?
Les calculs sont rangés d’une certaine façon :

• ajouter des unités en page de gauche ;
• calculs avec des dizaines supplémentaires en page de droite.
Les élèves peuvent au choix utiliser le matériel de base 10, la bande numérique ou une feuille de papier vierge.
Note : Cette activité encourage les élèves à automatiser l’algorithme d’addition et à faire de moins en moins appel au matériel de base 10. Prévoir une plage de temps assez longue pour leur laisser le temps de s’approprier l’exercice.

Note : Précédemment, les élèves ont appris à soustraire des unités (56 – 4) et des dizaines pleines (56 – 10). À présent, ils vont apprendre comment soustraire en même temps dizaines et unités (56 – 14). Écrire au tableau : 56 – 14 et rappeler aux élèves les deux stratégies utilisées jusqu’à présent.

• Stratégie A : Compter à rebours à partir du plus grand nombre
Pour illustrer la première stratégie, afficher au tableau une bande numérique allant de 30 à 60. « Entre 56 et 14, quel est le nombre le plus grand ? » (56), « Je compte donc à partir de 56. » Demander à un élève de venir au tableau désigner le nombre 56. « Combien devons-nous soustraire ? » (14), « Dans 14, combien y a-t-il de dizaines et d’unités ? » (1 dizaine et 4 unités), « Pour compter à rebours sur la bande numérique, je peux donc faire un grand bond de 10 vers la gauche, puis un petit bond de 4. » Mimer l’action sur la bande numérique. «Mais je peux aussi faire d’abord le petit bond de 4, puis le grand bond de 10. »
Demander aux élèves pourquoi les bonds se font vers la gauche. (Parce que les nombres sont rangés du plus petit au plus grand ; donc quand on retire, on obtient un nombre plus petit.)

• Stratégie B : Séparer en dizaines et en unités
Répartir les élèves en binômes et distribuez à chacun du matériel de base 10 (5 dizaines et 10 unités). « Nous allons représenter le nombre 56 avec les cubes et les barres. Combien y a-t-il de dizaines et d’unités dans 56 ? » (Les élèves disposent cinq barres de dizaines et 6 unités séparées.) « Combien dois-je retirer ? » (14), « Dans 14, combien y a-t-il de dizaines et d’unités ? » (1 dizaine et 4 unités)
Tracer un tableau des dizaines et des unités, en vous inspirant par exemple de la disposition page 69 du fichier B. Avec du matériel de base 10 aimanté, coller les dizaines et les unités au tableau avant d’écrire les symboles.

« Combien de dizaines et d’unités font 56 ? » (5 dizaines et 6 unités) Écrire 5 et 6 dans les colonnes respectives.
« Combien de dizaines et d’unités font 14 ? » (1 dizaine et 4 unités) Écrire 1 et 4 dans les colonnes respectives.

« Comme pour l’addition, nous allons d’abord nous intéresser aux unités. Combien en avons-nous ? » (6 – 4 = 2) Valider au tableau en écrivant le chiffre 2 dans la colonne des unités.
« Combien avons-nous de dizaines ? » (5 – 1 = 4) Valider au tableau en écrivant le chiffre 4 dans la colonne des dizaines.

« Donc, combien avons-nous en tout ? » (4 dizaines et 2 unités, donc 42)

Écrire au tableau : 56 – 24
Dire aux élèves que vous allez utiliser le boulier pour effectuer la soustraction. Notez que cette démarche ressemble à la stratégie B vue à la séance 116, réalisée avec le matériel de base 10 ou les cubes multidirectionnels : il s’agit de soustraire séparément les dizaines et les unités.
Toutes les boules du boulier sont à gauche. Demander aux élèves de présenter la quantité « 56 » en glissant une à une les dizaines de billes et les unités.
« Combien y a-t-il de dizaines en tout ? » (cinq), « Combien y a-t-il d’unités ? » (six), « Combien dois-je retirer ? » (24), « Dans 24, combien y a-t-il de dizaines et d’unités ? » (2 dizaines et 4 unités). « Cinq dizaines moins deux dizaines, il reste trois dizaines. Où retirer 4 unités ? » (sur la ligne des 6 unités), « 6 unités – 4 unités = 2 unités. ll reste en tout 4 dizaines et 2 unités, donc 42. »
Illustrer la même soustraction (56 – 24) avec le matériel de base 10 puis avec une bande numérique. Demander aux élèves si ces trois stratégies donnent le même résultat et laquelle ils préfèrent.
Répéter la même démarche avec d’autres soustractions : 68–24;47–13;79–53.

L’activité 7 pages 226 et 227 des fiches photocopiables doit permettre à chaque élève de reprendre les deux stratégies de manière autonome. Pour l’exercice 1, proposer aux élèves de se repérer sur la bande numérique avec des codes couleurs, et à dessiner eux-mêmes les flèches. L’exercice 2 a pour but d’automatiser la lecture des soustractions en colonnes. Le matériel de base 10 pourra être utilisé, mais seulement pour vérifier les réponses.

Note : Nous abordons maintenant la soustraction dite communément « avec retenue » ; cependant, nous n’utiliserons pas le terme « retenue » qui fait référence à l’algorithme de la soustraction posée en colonnes. Par cohérence avec l’approche concrète-imagée-abstraite, nous utiliserons l’expression « grouper différemment » pour expliquer l’action de prendre une dizaine et de la considérer comme dix unités.

Écrire au tableau : 54 – 5
Dire aux élèves que vous allez chercher combien font 54 – 5 à l’aide dumatériel de base 10.
« Combien de dizaines y a-t-il dans 54 ? » (5 dizaines), « Combien y a-t-il d’unités ? » (4 unités)
« Combien y a-t-il de dizaines et d’unités dans 5 ? » (0 dizaine et 5 unités) Tout en posant les questions, afficher le nombre 54 à l’aide du matériel de base 10 au tableau, en disposant au fur et à mesure les dizaines et les unités. (Vous pouvez vous inspirer de la disposition page 71 du fichier B.) Une fois toutes les unités disposées, demander : « Combien devons-nous retirer ? » (5), « Comment allons-nous faire ? Nous n’avons pas assez d’unités dans la colonne des unités pour en retirer 5, puisque nous n’en avons que 4. Où pouvons-nous les trouver ? Dans la colonne des dizaines, j’ai cinq dizaines. Or, une dizaine, c’est 10 unités. Donc, je peux grouper une dizaine complète avec les unités. »
Illustrer cette opération en prenant une dizaine et en la remplaçant explicitement par dix cubes isolés, qu'on place dans la colonne des unités. « Combien ai-je maintenant d’unités ? » (14), « Combien dois-je en retirer ? » (5), « Combien font 14 – 5 ? » (9), « Il nous reste 4 dizaines, puisqu’on en a retiré une. Donc le résultat est 49. »

Demander aux élèves de se répartir en binômes avec du matériel de base 10, en distribuant à chaque binôme une soustraction différente : 31 – 9 ; 25 – 8 ; 14 – 6 ; etc. À tour de rôle, les élèves d’un binôme manipulent et écrivent les opérations.

Mettre en commun les réponses obtenues.

Reprendre le calcul du début de la séance : 54 – 5. « Nous allons faire le même calcul mais avec le boulier. Connaissez-vous le résultat ? »

La classe peut se souvenir qu’il s’agit de 49. Dans ce cas, dire : " Nous connaissons la réponse, mais ce qui nous intéresse, c’est d’apprendre une nouvelle stratégie pour la trouver". Le but ici est de donner aux élèves le goût de la méthode, plutôt que celui d’avoir la bonne réponse.

Laisser les élèves proposer différentes façons de retirer 5 de 54 sur le boulier.

Note : À la séance précédente, les élèves ont soustrait des unités (54 – 5). Ils vont maintenant soustraire dizaines et unités.

Écrire au tableau : 63 – 47.
Dire aux élèves qu'on va calculer 63 – 47 à l’aide du matériel de base 10. Distribuer le matériel aux élèves répartis en binômes. « Combien de dizaines y a-t-il dans 63 ? », « Et combien d’unités ? », « Combien devons- nous retirer ? », « Combien y a-t-il de dizaines et d’unités dans 47 ? »

Afficher du matériel de base dix aimanté sur un tableau de dizaines et d’unités. Expliquer : « Comme pour l’addition, je vais commencer par les unités. Combien en ai-je ? » (3), « Combien dois-je en retirer ? » (7), « Ce n’est pas possible mais, dans la colonne des dizaines, j’ai 6 dizaines. Or, une dizaine c’est dix unités. Donc, je peux prendre une dizaine et la remplacer par dix unités. »

Illustrer cette opération avec le matériel de base 10. « Combien ai-je maintenant d’unités ? » (13), « Combien dois-je en retirer ? » (7), « 13 – 7 font 6. Il nous reste 5 dizaines, puisqu’on en a retiré une. Combien dois-je en retirer ? » (4), « Il reste donc une dizaine et6unités.63–47=16.»

Demander aux élèves d’ouvrir leur fichier B à la page 71. Laisser étudier l’encadré                  « J’observe » et demander : « Quel est le lien avec ce que nous venons de faire ? » Demander aux élèves de lire les phylactères. Les élèves doivent restituer les étapes. Faire remarquer que les dizaines sont marquées en vert et les unités en bleu. En comparant avec la page précédente, faites remarquer qu’ici, on ne nomme pas les colonnes des dizaines et des unités.

Note : La lecture du fichier est une étape importante car elle permet de passer de la manipulation des cubes – « étape concrète » – à la représen- tation sur papier – « étape imagée » – dans laquelle l’algorithme de la soustraction posée est formalisé.

Distribuer les pages 228 et 229 de l’activité 8 des fiches photocopiables. Demander aux élèves, avant de procéder à la résolution des calculs, de prendre le temps de regarder les exercices : qu’observent-ils ?
Les calculs sont rangés d’une certaine façon :

• soustraire des unités en page de gauche ;
• soustraire simultanément dizaines et unités en page de droite.
Les élèves peuvent au choix utiliser le matériel de base 10, la bande numérique ou une feuille de papier vierge.
Note : Cette activité, un peu longue, encourage les élèves à automatiser l’algorithme de la soustraction et à faire de moins en moins appel au matériel de base 10. Prévoir une plage de temps suffisante pour leur laisser le temps de s’approprier l’exercice.
En conclusion de la séance, demander aux élèves, en leur laissant un temps de réflexion individuel, dans quels cas il est nécessaire de procéder à un groupement d’une dizaine avec les unités.

Demander aux élèves d’ouvrir le fichier B à la page 72 et de décrire ce qu’ils voient : des canards en plastique, qui servent à la pêche à la ligne. Amener les élèves à inventer une histoire pour justifier l’addition de trois termes (« J’ai d’abord pêché 7 canards bleus, puis 3 canards violets, puis 2 canards verts » ou « Il y a 7 canards bleus, 3 canards violets et 2 canards verts dans le bassin de pêche à la ligne. »)

Amener les élèves à partager leur expérience de la pêche à la ligne ou des jouets en général. Demander aux élèves d’expliquer ce qu’a fait Maël pour compter 7 + 3 + 2. Il a d’abord fait 7 + 3 = 10 en rangeant les canards en deux colonnes de 5, puis il a ajouté 2.

Note : on peut facilement modéliser cette situation avec des cubes multidirectionnels de trois couleurs.
Répartir les élèves en binômes et distribuer des jetons de trois couleurs différentes pour représenter les nombres 1, 6 et 9. (Par exemple, 1 jeton jaune, 6 jetons bleus et 9 jetons rouges). Demander d’additionner le nombre total de jetons et recueillir les réponses. Écrivez au tableau l’addition 1 + 6 + 9.

« Nous allons représenter les nombres avec les jetons. Pour additionner, nous devons mettre les jetons ensemble. » Demander à un élève de lire ce que dit Adèle : « Pourquoi, à votre avis, dit-elle de faire d’abord un groupede10?» «1et9font10,et1+6+9, c’est la même chose que 1+9+6.» Illustrer la situation avec les jetons. « Donc la réponse est 16. »

Conclure : lorsque plusieurs nombres doivent être ajoutés les uns aux autres, il est plus facile de calculer en cherchant à faire une dizaine.

En pratique guidée de classe, aider les élèves dans la résolution de l’exercice 1 page 73 du fichier B. Ils auront gardé leurs jetons pour s’aider le cas échéant.

Distribuer aux élèves regroupés en binômes des cartes-nombres (en annexe) de 0 à 9. Demander aux élèves d’ouvrir le fichier B à la page 74 et de disposer les cartes en croix, comme en haut de la page.

« Que remarquez-vous quand vous additionnez les trois nombres sur la colonne et la rangée ? Écrivez la réponse sur le fichier. »

Amener les élèves à formuler la règle du jeu : les additions en rangées et en colonnes donnent le même résultat.

Amener les élèves à observer que, puisque le nombre au centre reste le même, les deux autres paires de nombres doivent avoir le même résultat.

Faire aussi remarquer que le 1er nombre de l’addition en colonne (1)  fait 1 de moins que le 1er nombre de l’opération en ligne (2), donc, l’inverse doit être vrai pour le 3e membre de chaque addition (6 est plus grand que 5 de 1).

Inviter les élèves à faire par deux l’exercice 3b) en utilisant la même règle. Demandez aux élèves qui le souhaitent de venir montrer leurs solutions.

Faire de même pour l’exercice 3c).

Note : Cette séance et celle qui va suivre vont mettre en évidence le fait que la recherche d’une partie ou la recherche d’un tout dans une situation-problème est reliée à une opération mathématique particulière (addition ou soustraction).

Avant le début de la séance, écrire l’énoncé suivant au tableau :
« Il y a 14 ballons. 5 ballons sont rouges. Les autres sont blancs.
Combien de ballons blancs y a-t-il ? »
Comme la dernière séance dédiée à la résolution de problèmes remonte à l’unité 8, reprendre les 4 étapes de la résolution de problèmes selon Polya (vues par exemple page 92 de ce guide).

1 – Lire et comprendre : « Que devons-nous faire en premier ? » Lire, et être sûrs que nous avons bien compris. « De quoi parle l’histoire ? », « Que nous demande-t-on ? »

2 – Planifier : «Nous devons décider quoi faire : addition ou soustraction ? À votre avis, y a-t-il plus que 14 ballons blancs ? Moins ? Comment savoir combien nous en avons ?»

3 – Faire : « On peut écrire directement la soustraction si nous sommes sûrs de nous :       14 – 5. » Il s’agit maintenant de mettre en œuvre la soustraction en « groupant différemment » ; le cas échéant, dire à chaque élève qu’il peut s‘aider du matériel de son choix : jetons, cubes, bande numérique...

4) Vérifier : « Que devez-vous faire maintenant que vous avez écrit votre réponse ? » Vérifier qu’elle est correcte.

Demander aux élèves de répondre en autonomie à l’exercice 1 de l’activité 10 pages 232 et 233 des fiches photocopiables. Guider les élèves en projetant la page 232 et en montrant comment cocher la case correspondant au problème a). Expliquer le terme « cocher ».

Pour l’exercice 2, répartir les élèves en binômes et laisser un temps de réflexion. Expliquer si besoin que l’une des deux opérations proposées est fausse et proposer de la barrer.
Inviter ensuite quelques binômes à expliquer leur réponse et la façon dont ils ont trouvé le résultat.

Note : Certains problèmes présentent des situations de comparaison, de transformation et de composition.
La transformation consiste à ajouter ou ôter une quantité à une quantité initiale (soustraction ou addition). La comparaison consiste à comparer deux quantités (soustraction). La composition consiste à compter deux quantités à l’intérieur d’un ensemble (tout/partie).

Ces termes n’ont pas besoin d’être utilisés, et encore moins retenus par les élèves. À la place, vous pouvez utiliser les termes suivants : Transformation : ajouter, retirer, enlever.
Comparaison : comparer.

Composition : tout et partie.
Comprendre en quoi ces situations diffèrent des précédentes apparaît très important pour l’enseignement de la résolution de problèmes (voir typologies des problèmes énoncées par Gérard Vergnaud).

Demander aux élèves d’ouvrir le fichier B à la page 77 et de résoudre les problèmes de l’exercice 1 en autonomie.
Le problème a) est une situation de transformation.
Le problème b) est une situation de comparaison.
Le problème c) est une situation de transformation.

Veiller à ce que les élèves respectent les 4 étapes de la résolution de problèmes, avec une attention particulière pour les deux premières. Inviter les volontaires à venir justifier leur raisonnement devant la classe. Autoriser à chaque fois les propositions alternatives, en valorisant la recherche de différentes stratégies : « Je ne vous empêcherai jamais de faire des propositions, car je trouve que toutes les propositions sont intéressantes. Écoutez les propositions de vos camarades, car vous pourriez bien apprendre quelque chose, même si elles ne fonctionnent pas. »

Cette séance doit encourager les élèves à utiliser tous les moyens vus jusqu’à présent (cubes, jetons, dessins...), il est donc important de n’exclure aucune proposition et de valoriser les efforts des élèves à justifier leur raisonnement à voix haute.

Illustrer chaque proposition avec des schémas au tableau ou avec des cubes multidirectionnels.

Enfin, expliquer bien les différences entre les trois situations. Faire remarquer que le mot   « plus » dans l’exercice 1b) ne signifie pas qu’il faut additionner ; il nous renseigne seulement sur le plus grand nombre et le plus petit nombre.

L’exercice 1 de l’activité 11 pages 234 et 235 des fiches photocopiables peut être fait en autonomie.
Le problème a) est une situation de comparaison.
Le problème b) est une situation de comparaison. (Attention ici à ce que les élèves ne confondent pas avec un problème de transformation.)

Le problème c) est une situation de composition.
Le problème d) est une situation de comparaison.
Le problème e) est une situation de transformation.
Le problème f) comporte deux étapes : une situation de comparaison puis de composition.

Les exercices 2 et 3 peuvent être faits par deux avec des jetons ou descubes. La difficulté consiste ici à écrire les soustractions dans le bon sens.

Aborder la page 78 du fichier B de préférence après avoir joué au jeu « Plus près ! », qui, suite aux deux dernières séances de problèmes, va permettre aux élèves de se rappeler les notions de dizaine et d’unité. La page 78 présente les 3 stratégies vues pour additionner et soustraire.

1 : additionner et soustraire à partir du plus grand nombre.
2 : additionner et soustraire en séparant dizaines et unités (cas des opérations sans retenue).
3 : additionner et soustraire en groupant différemment (cas des opérations avec retenue).
Demandez aux élèves d’expliquer dans quel cas il est nécessaire de grouper différemment. Dans le cas des additions, c’est nécessaire lorsque le nombre total d’unités dépasse 10. Dans le cas des soustractions, c’est nécessaire lorsque le nombre d’unités à soustraire est plus grand que le nombre d’unités du nombre de départ.

Laisser aux élèves un temps d’observation, puis mettre en commun ce que les élèves ont retenu. Pointer la différence entre les opérations de gauche (additions) et les opérations de droite (soustractions).
La dernière stratégie (faire 10 dans le cas d’une addition de trois nombres à un chiffre) pourra être expliquée à part. Proposer aux élèves différents exemples de calculs en leur demandant, à partir de la page 78, quelle stratégie de calcul ils utiliseraient pour les résoudre.

Expliquer aux élèves le but de cette activité : quelqu’un qui lira leur page devra comprendre comment faire 39 + 4. Encourager les élèves à s’exprimer librement : ils peuvent au choix écrire – à ce stade l’orthographe n’est pas prioritaire – dessiner ou tracer des schémas. La tâche ne doit pas durer plus de dix minutes. Rappeler aux élèves ayant des difficultés qu’ils peuvent regarder les séances précédentes pour se rappeler les différentes représentations.

Au moment de la mise en commun, concentrer l’attention des autres élèves sur les mathématiques elles-mêmes et non sur la qualité des dessins ou de l’écriture.