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. Le signe × ("multiplié par") comme symbole de la commutativité.
- Discipline / domaine
- Nombres et calculs
- Objectif
- -Comprendre la commutativité : l'écriture 6 × 3 décrit indifféremment le nombre d'objets dans 6 groupes de 3 objets ou dans 3 groupes de 6 objets.
- Durée
- 35 minutes (3 phases)
- Matériel
- Une vingtaine de jetons (ou de cubes) par élève.
- Informations théoriques
- Multiplier un entier par un autre c'est ajouter cet entier à lui-même plusieurs fois. Ainsi multiplier 6 par 4 c'est calculer 6 + 6 + 6 + 6, le résultat se dit 4 fois 6 ou 6 multiplié par 4. On appelle le produit de 6 par 4 le résultat de cette opération. Dans cette multiplication, 6 est appelé le multiplicande car c'est lui qui est répété et 4 est appelé le multiplicateur car il indique combien de fois 6 doit être répété.
Cependant, le fait que 4 fois 6 soit égal à 6 fois 4, rend cette distinction peu nécessaire, et les deux nombres sont appelés facteurs du produit. Celui-ci est noté 6 × 4 — qui se lit indifféremment « six fois quatre » ou « six multiplié par quatre » — ou 4 × 6.
1. Activité préliminaire de manipulation
| 
10 min. | rechercheL'enseignant forme des groupes de quatre élèves. Dans chaque groupe, il y aura l'élève A, le B, le C et le D.
Il dépose sur les tables les consignes et les objets (en quantité supérieure à ce qui est nécessaire) :
- Aux élèves A, il demande de former "5 groupes de 3 jetons",
- Aux élèves B, de former "3 groupes de 5 jetons",
- Aux élèves C, de former "5 rangées de 3 jetons"
- Aux élèves D, de former "3 rangées de 5 jetons"
Qu'est-ce qu'une rangée ? Des objets placés sur une même ligne.
Quand toutes ces collections sont formées, chaque élève doit dire combien il y a d'objets en tout dans celle qu'il a réalisée. On constate que tous trouvent le même nombre : 15.
L'enseignant questionne alors : "Est-ce normal de trouver le même nombre ? Pourtant j'ai donné quatre consignes différentes !"
2. Mise en commun et conclusion
| 10 min. | mise en commun / institutionnalisationSi cela n'est pas proposé par les élèves eux-mêmes, l'enseignant demande aux élèves A et B d'aligner les objets de chaque groupe, puis de mettre ces alignements l'un à côté de l'autre.
Voici un exemple de ces états successifs pour trois groupes de 5 cubes :
On part de 3 amas de 5 points. L'enseignant efface un amas de 5 points et fait constater qu'il le remplace par une rangée de 5 points; il fait de même avec les 2 autres amas, de sorte que , finalement, on voit apparaître 3 rangées de 5 points.
Il demande aussi si l'on peut voir 5 rangées de 3 points dans 3 rangées de 5 points.
Sur l'exemple de la collection dessinée au tableau comme "3 rangées de 5", un élève vient montrer ces rangées de 5.
L'enseignant fait formuler qu'on peut aussi, par un simple changement de point de vue, la considérer comme "5 rangées de 3" (un élève vient montrer ces rangées de 3).
"Que peut-on conclure à partir de ces observations ?
Les élèves doivent arriver à ce constat :
5 groupes de 3 jetons, c'est le même nombre que 3 groupes de 5 jetons.
On le voit bien quand on met ces jetons en rangées;
Et l'enseignant ajoute :
Ce nombre s'écrit 5×3 ou 3×5, qu'on énonce " 5 multiplié par 3" ou "3 multiplié par 5".
L'enseignant rédige l'affiche pour illustrer cette leçon.
3. Application
| 15 min. | réinvestissement- Sur le fichier, séquence 67, activité 1.
- "Dessinez 6 fois 4 jetons. puis 4 fois 6 jetons et enfin 6 rangées de 4 jetons."
- Laisser 5 minutes aux élèves. La maîtresse circule dans les rangs pour aider les élèves en difficulté.
- Enfin, faire venir trois élèves au tableau pour corriger l'exercice.
2. Lecture de l'encadré "j'ai appris". Faire le lien avec l'affiche réalisée par l'enseignant.
3. Activité 2 :
Les élèves doivent expliciter les itérations correspondant aux illustrations et écrire, pour chaque situation, la multiplication qui la décrit sous ses deux formes possibles. La correction se fait en collectif.