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. Découverte des fractions : une écriture nouvelle
- Discipline / domaine
- Nombres et calculs
- Objectif
- Objectifs spécifiques:
- Installer ou réinstaller une première signification des fractions simples dans un contexte de longueur.
- Connaître et utiliser les relations entre ces fractions, les traduire par des écritures additives et multiplicatives.
- Participer à un débat et échanger des arguments à propos de la validité d'une solution.
- Élaborer, avec l'aide de l'enseignant, des écrits destinés à servir de référence dans les différentes activités.
Traiter les informations d'un document écrit incluant des représentations (diagramme, schéma,graphique).
- Durée
- 60 minutes (5 phases)
- Matériel
- Bandes à mesurer d'environ 3 cm de largeur découpées dans des feuilles A4 et dans des feuilles A3.
La règle graduée n'est pas disponible.
Bandes de papier étalon (un par élève) avec plusieurs de « secours ».
- Informations théoriques
- Description: Les élèves devront tantôt construire des longueurs égales à une fraction d'une longueur donnée, tantôt reconstituer une longueur initiale à partir d'une ou de plusieurs fractions de cette longueur.
1. PHASE 1 : Construction d'une longueur égale à trois quarts d'une longueur donnée
| 
10 min. | rechercheÉTAPE 1 : Les élèves sont par deux et disposent d'une bande d'environ 3 cm de largeur et de 21 cm de longueur.
Consigne « Découpez dans cette bande un morceau de longueur égale à trois quarts de la longueur de la bande. »
2. Mise en commun
| 10 min. | mise en commun / institutionnalisationEtape 2: Les longueurs obtenues sont comparées. Les procédures utilisées sont explicitées et l'origine des différences de longueur est recherchée.
Certains plient la bande en quatre en la pliant en deux puis en la repliant deux. Ils terminent en découpant un quart. Leur morceau comporte deux plis chacun des trois quarts est visible.
D'autres plient la bande en deux, puis replient l'une des moitiés en deux. Leur morceau ne comporte qu'un seul pli séparant le demi et le quart.
Cette mise en commun permet :
− de préciser le sens des expressions « un quart » et « trois quarts » ;
− d'introduire et d'utiliser les écritures ¼ et ¾ en écrivant ces fractions les morceaux correspondants ;
− de préciser que dans la fraction 3/4 le 3 est le numérateur et le 4 est le dénominateur, que le 4 indique qu'il faut partager en quatre et le 3 indique qu'il faut prendre trois « parts ».
3. PHASE 3 : Reconstituer une longueur à partir de trois quarts de cette longueur
| 10 min. | rechercheMatériel:
Pour le maître : une bande d'environ 3 cm de largeur et de 36 cm de longueur.
Pour chaque groupe :
− une bande de longueur égale à trois quarts de la longueur de la bande du maître. Cette bande a été obtenue par pliage en quatre d'une bande identique à celle du maître. Elle comporte donc deux plis permettant de visualiser chaque quart.
− une bande de même largeur que la précédente et de longueur 42 cm.
ÉTAPE 1 : Travail à deux
Chaque équipe reçoit les deux bandes décrites ci-dessus.
Consigne « Comme vous, j'ai obtenu par pliage et découpage des morceaux de longueur égale à trois quarts de la longueur de cette bande (le maître montre la bande de 36 cm un court instant). J'ai donné à chaque équipe l'un de ces morceaux. En utilisant ce morceau vous devez découper dans la grande bande une bande identique à la bande de départ. »
Exemple pour la bande D qui correspond à ¼ de la bande étalon, on a les écritures :
¼ ; la moitié de la moitié ; 1/8 + 1/8 ; ½ de ½ ; plie en 4 …
L’écriture ½ est en général connue de certains élèves qui lui font correspondre « moitié ». Par analogie, il est facile de faire dire les termes de 1/3 et ¼ …
4. Mise en commun
| 15 min. | mise en commun / institutionnalisationÉTAPE 2 : Mise en commun
On affiche les bandes. Si elles ont toutes la même longueur, on demande aux enfants de prouver que c'est la bonne longueur.
Dans le cas contraire, on leur fait rechercher l'origine des différences et donner des arguments permettant de rejeter ou de retenir certaines bandes.
Presque tous utilisent le morceau « trois quarts pour reporter sur la grande bande trois quarts puis un quart.
D'autres reportent quatre fois un quart ou deux fois un demi.
Différents arguments apparaissent :
− toutes les bandes doivent avoir la même longueur car tous les morceaux distribués ont été obtenus à partir de la même bande ;
− c'est la bonne longueur parce qu'en prenant les trois quarts de notre bande on obtient le morceau « trois quarts » ;
− c'est la bonne longueur parce que dans la bande entière il ,y a quatre quarts, etc.
L'explicitation des procédures et des arguments doit permettre :
− de dégager les relations : dans une unité il y a deux demis, dans une unité il y a quatre quarts, dans un demi il y a deux quarts ;
− d'écrire et de lire les égalités traduisant les procédures et les relations utilisées.
On termine en vérifiant que les bandes que l'on a retenues ont même longueur que la bande de départ. De légères différences peuvent être acceptées et expliquées par un manque de précision dans les reports et les pliages.
5. Travail individuel
| 15 min. | réinvestissementÉTAPE 3: travail individuel
L'exercice suivant est ensuite proposé afin de faire utiliser les fractions précédentes et d'autres fractions dans un contexte légèrement différent et de mettre en évidence certaines équivalences.
Consigne: "On a grisé une fraction de chaque figure. Pour chaque partie grisée donne cette fraction et d'autres écritures comportant au moins une fraction. "
La mise en commun doit permettre de rejeter les erreurs en revenant à la signification du numérateur et du dénominateur et de noter certaines égalités :
¼ + ¼ = 2/4 - ¼ + ¼ = ½ - 2/4 = ½
5/10 = ½
2/8 = ¼